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Beliebt Trigonometrie >

4sin(x)-6cos(x)=3

Lösung

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

Lösung

x = - 2.58786 \dots + 2 πn, x = 1.41186 \dots + 2 πn

Grad

x = - 148.27395 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 80.89382 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

Füge

6 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

4 sin (x) = 3 + 6 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(4 sin (x))^{2} = (3 + 6 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(3 + 6 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

16 sin^{2} (x) - 9 - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 9 + 16 sin^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 9 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) : - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

- 9 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Multipliziere aus

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 9 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 9 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) : - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

- 9 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) - 9 + 16

Addiere gleiche Elemente:

- 16 cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) = - 52 cos^{2} (x)

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 9 + 16

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 9 + 16 = 7

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

7 - 36 cos (x) - 52 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

7 - 36 cos (x) - 52 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

7 - 36 u - 52 u^{2} = 0

7 - 36 u - 52 u^{2} = 0 : u = - \frac{9 + 2 43}{26}, u = \frac{2 43 - 9}{26}

7 - 36 u - 52 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 52 u^{2} - 36 u + 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 52 u^{2} - 36 u + 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 52, b = - 36, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 ) \pm ( - 36 ) ^{2} - 4 ( - 52 ) \cdot 7}{2 ( - 52 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 ) \pm ( - 36 ) ^{2} - 4 ( - 52 ) \cdot 7}{2 ( - 52 )}

(- 36)^{2} - 4 (- 52) \cdot 7 = 843

(- 36)^{2} - 4 (- 52) \cdot 7

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 36)^{2} + 4 \cdot 52 \cdot 7

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 36)^{2} = 3 6^{2}

= 3 6^{2} + 4 \cdot 52 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 52 \cdot 7 = 1456

= 3 6^{2} + 1456

3 6^{2} = 1296

= 1296 + 1456

Addiere die Zahlen:

1296 + 1456 = 2752

= 2752

Primfaktorzerlegung von

2752 : 2^{6} \cdot 43

2752

2752

ist durch

22752 = 1376 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 1376

1376

ist durch

21376 = 688 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 688

688

ist durch

2688 = 344 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 344

344

ist durch

2344 = 172 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 172

172

ist durch

2172 = 86 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 86

86

ist durch

286 = 43 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 43

2, 43

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 43

= 2^{6} \cdot 43

= 2^{6} \cdot 43

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 43 2^{6}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 43

Fasse zusammen

= 843

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 ) \pm 8 43}{2 ( - 52 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 36 ) + 8 43}{2 ( - 52 )}, u_{2} = \frac{- ( - 36 ) - 8 43}{2 ( - 52 )}

u = \frac{- ( - 36 ) + 8 43}{2 ( - 52 )} : - \frac{9 + 2 43}{26}

\frac{- ( - 36 ) + 8 43}{2 ( - 52 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{36 + 8 43}{- 2 \cdot 52}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 52 = 104

= \frac{36 + 8 43}{- 104}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{36 + 8 43}{104}

Streiche

\frac{36 + 8 43}{104} : \frac{9 + 2 43}{26}

\frac{36 + 8 43}{104}

Faktorisiere

36 + 843 : 4 (9 + 243)

36 + 843

Schreibe um

= 4 \cdot 9 + 4 \cdot 243

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (9 + 243)

= \frac{4 ( 9 + 2 43 )}{104}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{9 + 2 43}{26}

= - \frac{9 + 2 43}{26}

u = \frac{- ( - 36 ) - 8 43}{2 ( - 52 )} : \frac{2 43 - 9}{26}

\frac{- ( - 36 ) - 8 43}{2 ( - 52 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{36 - 8 43}{- 2 \cdot 52}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 52 = 104

= \frac{36 - 8 43}{- 104}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

36 - 843 = - (843 - 36)

= \frac{8 43 - 36}{104}

Faktorisiere

843 - 36 : 4 (243 - 9)

843 - 36

Schreibe um

= 4 \cdot 243 - 4 \cdot 9

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (243 - 9)

= \frac{4 ( 2 43 - 9 )}{104}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{2 43 - 9}{26}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{9 + 2 43}{26}, u = \frac{2 43 - 9}{26}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}, cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}, cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26} : x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26} : x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

ein, um zu lösen

4 sin (arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

7.20686 \dots = 3

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn :

Wahr

- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

ein, um zu lösen

4 sin (- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

3 = 3

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

ein, um zu lösen

4 sin (arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

3 = 3

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

ein, um zu lösen

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

- 4.89917 \dots = 3

\Rightarrow Falsch

x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 2.58786 \dots + 2 πn, x = 1.41186 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

4cos(x)=cos^3(x)

4 cos (x) = cos^{3} (x)

cos^2(a)= 3/(5sin(a))

cos^{2} (a) = \frac{3}{5 sin ( a )}

3cos(x)=2sec(x)-5

3 cos (x) = 2 sec (x) - 5

sin(a/2)=(1/2)sin(a)

sin (\frac{a}{2}) = (\frac{1}{2}) sin (a)

cos(x/2)=cos(x)+1

cos (\frac{x}{2}) = cos (x) + 1