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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)-cos^2(x)=cos^4(x)

Lösung

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) = cos^{4} (x)

Lösung

x = 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2.26998 \dots + 2 πn, x = - 2.26998 \dots + 2 πn

Grad

x = 49.93964 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 310.06035 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 130.06035 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 130.06035 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) = cos^{4} (x)

Subtrahiere

cos^{4} (x)

von beiden Seiten

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - cos^{4} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Vereinfache

- cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x) : - 2 cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1

- cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (x) - cos^{4} (x) - cos^{2} (x) + 1

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (x) - cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x)

= - 2 cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1

= - 2 cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1

1 - cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

1 - cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

1 - u^{4} - 2 u^{2} = 0

1 - u^{4} - 2 u^{2} = 0 : u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2, u = 2 - 1, u = - 2 - 1

1 - u^{4} - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}

und

v^{2} = u^{4}

- v^{2} - 2 v + 1 = 0

Löse

- v^{2} - 2 v + 1 = 0 : v = - 1 - 2, v = 2 - 1

- v^{2} - 2 v + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- v^{2} - 2 v + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = - 2, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 22

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Addiere die Zahlen:

4 + 4 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

v_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )}, v_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )}

v = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )} : - 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 + 2 2}{2}

Streiche

\frac{2 + 2 2}{2} : 1 + 2

\frac{2 + 2 2}{2}

Faktorisiere

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

= - (1 + 2)

Setze Klammern

= - (1) - (2)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 1 - 2

v = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )} : 2 - 1

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

2 - 22 = - (22 - 2)

= \frac{2 2 - 2}{2}

Faktorisiere

22 - 2 : 2 (2 - 1)

22 - 2

Schreibe um

= 22 - 2 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 - 1)

= \frac{2 ( 2 - 1 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 2 - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

v = - 1 - 2, v = 2 - 1

v = - 1 - 2, v = 2 - 1

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = - 1 - 2 : u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2

u^{2} = - 1 - 2

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = - 1 - 2, u = - - 1 - 2

Vereinfache

- 1 - 2 : i 1 + 2

- 1 - 2

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- a = i a

= i 1 + 2

Vereinfache

- - 1 - 2 : - i 1 + 2

- - 1 - 2

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- a = i a

= - i 1 + 2

u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2

Löse

u^{2} = 2 - 1 : u = 2 - 1, u = - 2 - 1

u^{2} = 2 - 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 2 - 1, u = - 2 - 1

Die Lösungen sind

u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2, u = 2 - 1, u = - 2 - 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = i 1 + 2, cos (x) = - i 1 + 2, cos (x) = 2 - 1, cos (x) = - 2 - 1

cos (x) = i 1 + 2, cos (x) = - i 1 + 2, cos (x) = 2 - 1, cos (x) = - 2 - 1

cos (x) = i 1 + 2 :

Keine Lösung

cos (x) = i 1 + 2

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - i 1 + 2 :

Keine Lösung

cos (x) = - i 1 + 2

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = 2 - 1 : x = arccos (2 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (2 - 1) + 2 πn

cos (x) = 2 - 1

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = 2 - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 2 - 1

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (2 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (2 - 1) + 2 πn

x = arccos (2 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (2 - 1) + 2 πn

cos (x) = - 2 - 1 : x = arccos (- 2 - 1) + 2 πn, x = - arccos (- 2 - 1) + 2 πn

cos (x) = - 2 - 1

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - 2 - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 2 - 1

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- 2 - 1) + 2 πn, x = - arccos (- 2 - 1) + 2 πn

x = arccos (- 2 - 1) + 2 πn, x = - arccos (- 2 - 1) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (2 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (2 - 1) + 2 πn, x = arccos (- 2 - 1) + 2 πn, x = - arccos (- 2 - 1) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2.26998 \dots + 2 πn, x = - 2.26998 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin^2(x)+2cos^2(x)=1

sin^{2} (x) + 2 cos^{2} (x) = 1

(sin^2(a)+1)/(tan^2(a))=1

\frac{sin ^{2} ( a ) + 1}{tan ^{2} ( a )} = 1

2cos^2(x)=-3sin(x)cos(x)

2 cos^{2} (x) = - 3 sin (x) cos (x)

4cos^2(x)=sin^2(x)+3

4 cos^{2} (x) = sin^{2} (x) + 3

2cos^2(x)-sin^2(x)-2sin(x)=0

2 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0