English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

6cos^3(x)+cos^2(x)-1=0

الحلّ

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

الحلّ

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

درجات

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

خطوات الحلّ

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

cos (x) = u :

على افتراض أنّ

6 u^{3} + u^{2} - 1 = 0

6 u^{3} + u^{2} - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

6 u^{3} + u^{2} - 1 = 0

6 u^{3} + u^{2} - 1

حلّل إلى عوامل:

(2 u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

6 u^{3} + u^{2} - 1

استعمل نظريّة الجذر الكسريّ

2 u - 1

هو جذر للتعبير، إذًا فلتخرج

\pm \frac{1}{1 , 2 , 3 , 6}

\frac{1}{2}

لذلك، افحص الأعداد الكسريّة التالية

a_{n} : 1, 2, 3, 6

القواسم لـ

a_{0} : 1,

القواسم لـ

a_{0} = 1, a_{n} = 6

= (2 u - 1) \frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1}

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 3 u^{2} + 2 u + 1

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1}

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1}

اقسم:

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 3 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

6 u^{3} + u^{2} - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{6 u ^{3}}{2 u} = 3 u^{2} : 2 u - 1

والمقام

Quotient = 3 u^{2}

6 u^{3} - 3 u^{2} : 3 u^{2}

بـ

2 u - 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

6 u^{3} + u^{2} - 1

من

6 u^{3} - 3 u^{2}

اطرح

باقي = 4 u^{2} - 1

لذلك

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 3 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

= 3 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

اقسم:

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

4 u^{2} - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{4 u ^{2}}{2 u} = 2 u : 2 u - 1

والمقام

Quotient = 2 u

4 u^{2} - 2 u : 2 u

بـ

2 u - 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

4 u^{2} - 1

من

4 u^{2} - 2 u

اطرح

باقي = 2 u - 1

لذلك

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

= 3 u^{2} + 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

\frac{2 u - 1}{2 u - 1}

اقسم:

\frac{2 u - 1}{2 u - 1} = 1

2 u - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{2 u}{2 u} = 1 : 2 u - 1

والمقام

Quotient = 1

2 u - 1 : 1

بـ

2 u - 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

2 u - 1

من

2 u - 1

اطرح

باقي = 0

لذلك

\frac{2 u - 1}{2 u - 1} = 1

= 3 u^{2} + 2 u + 1

= (2 u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

(2 u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1) = 0

حلّ عن طريق مساواة العوامل لصفر

2 u - 1 = 0 or 3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

2 u - 1 = 0

حلّ:

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

2 u = 1

2 u = 1

2

اقسم الطرفين على

2 u = 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

بسّط

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

حلّ:

u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = 3, b = 2, c = 1

لـ

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1

بسّط:

22 i

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1

4 \cdot 3 \cdot 1 = 12 :

اضرب الأعداد

= 2^{2} - 12

- a = i a

:فعّل قانون الأعداد التخيليّة

= i 12 - 2^{2}

- 2^{2} + 12 = 22

- 2^{2} + 12

2^{2} = 4

= - 4 + 12

- 4 + 12 = 8 :

اطرح/اجمع الأعداد

= 8

8

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

2^{3}

8

8 = 4 \cdot 2, 2

ينقسم على

8

= 2 \cdot 4

4 = 2 \cdot 2, 2

ينقسم على

4

= 2 \cdot 2 \cdot 2

هو عدد أوّليّ لذلك تحليل آخر لعوامل غير ممكن

2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

:فعّل قانون القوى

= 2^{2} \cdot 2

n ab = n a n b

:فعْل قانون الجذور

= 2 2^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

2^{2} = 2

= 22

= 22 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 2 i}{2 \cdot 3}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

u = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

\frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}

2 \cdot 3 = 6 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 2 + 2 2 i}{6}

- 2 + 22 i

حلل إلى عوامل:

2 (- 1 + 2 i)

- 2 + 22 i

أعد الكتابة كـ

= - 2 \cdot 1 + 22 i

2

قم باخراج العامل المشترك

= 2 (- 1 + 2 i)

= \frac{2 ( - 1 + 2 i )}{6}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{- 1 + 2 i}{3}

- \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

بصورة مركّبة اعتياديّة

\frac{- 1 + 2 i}{3}

أعد كتابة

\frac{- 1 + 2 i}{3}

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

: استخدم ميزات الكسور التالية

\frac{- 1 + 2 i}{3} = - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

u = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

\frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

2 \cdot 3 = 6 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 2 - 2 2 i}{6}

- 2 - 22 i

حلل إلى عوامل:

- 2 (1 + 2 i)

- 2 - 22 i

أعد الكتابة كـ

= - 2 \cdot 1 - 22 i

2

قم باخراج العامل المشترك

= - 2 (1 + 2 i)

= - \frac{2 ( 1 + 2 i )}{6}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= - \frac{1 + 2 i}{3}

- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

بصورة مركّبة اعتياديّة

- \frac{1 + 2 i}{3}

أعد كتابة

- \frac{1 + 2 i}{3}

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

: استخدم ميزات الكسور التالية

\frac{1 + 2 i}{3} = - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

= - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

(a) = a

:احذف الأقواس

= - \frac{1}{3} - \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

حلول المعادلة التربيعيّة هي

u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

The solutions are

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

u = cos (x)

استبدل مجددًا

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2} :

حلول عامّة لـ

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3} :

لا يوجد حلّ

cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

لا يوجد حلّ

cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3} :

لا يوجد حلّ

cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

لا يوجد حلّ

وحّد الحلول

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

رسم

أمثلة شائعة

4tan^2(x)+12tan(x)-27=0

4 tan^{2} (x) + 12 tan (x) - 27 = 0

sin^2(x)-cos(x)= 1/4

sin^{2} (x) - cos (x) = \frac{1}{4}

cos^4(a)=3+4cos^2(a)+cos^4(a)

cos^{4} (a) = 3 + 4 cos^{2} (a) + cos^{4} (a)

cos^4(t)=1

cos^{4} (t) = 1

8cos^2(x)-12sin(x)-12=0

8 cos^{2} (x) - 12 sin (x) - 12 = 0