English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Phổ biến Lượng giác >

tan^2(x)+tan(x)+cot(x)+cot^2(x)=4

Lời Giải

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) = 4

Lời Giải

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.93566 \dots + πn, x = 2.77672 \dots + πn

Độ

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 110.90515 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 159.09484 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Các bước giải pháp

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) = 4

Trừ

4

cho cả hai bên

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) - 4 = 0

Viết lại bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lượng giác

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + tan (x) + tan^{2} (x)

Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= - 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ( x )} + (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2} = \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2}

Áp dụng quy tắc số mũ:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cot ^{2} ( x )}

Áp dụng quy tắc

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

= - 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ( x )} + \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Giải quyết bằng cách thay thế

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Cho:

cot (x) = u

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0 : u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

Nhân với LCM

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

Tìm Bội Số Chung Nhỏ Nhất của

u^{2}, u : u^{2}

u^{2}, u

Bội Số Chung Nhỏ Nhất (LCM)

Tính một biểu thức bao gồm các thừa số xuất hiện trong

u^{2}

hoặc

u

= u^{2}

Nhân với LCM=

u^{2}

- 4 u^{2} + u u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Rút gọn

- 4 u^{2} + u u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Rút gọn

u u^{2} : u^{3}

u u^{2}

Áp dụng quy tắc số mũ:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= u^{1 + 2}

Thêm các số:

1 + 2 = 3

= u^{3}

Rút gọn

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Áp dụng quy tắc số mũ:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Thêm các số:

2 + 2 = 4

= u^{4}

Rút gọn

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Nhân phân số:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Triệt tiêu thừa số chung:

u^{2}

= 1

Rút gọn

\frac{1}{u} u^{2} : u

\frac{1}{u} u^{2}

Nhân phân số:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u}

Nhân:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= \frac{u ^{2}}{u}

Triệt tiêu thừa số chung:

u

= u

Rút gọn

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Áp dụng quy tắc

0 \cdot a = 0

= 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

Giải

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0 : u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

Viết ở dạng chuẩn

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 = 0

Hệ số

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 : (u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1)

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

Sử dụng định lý căn số hữu tỷ

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Các số bị chia của

a_{0} : 1,

Các số bị chia của

a_{n} : 1

Do đó, hãy kiểm tra các số hữu tỷ sau:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

là một nghiệm của biểu thức, vì vậy đưa ra ngoài ngoặc

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Chia

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Chia các hệ số đứng đầu của tử số

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

và ước số

u - 1 : \frac{u ^{4}}{u} = u^{3}

th ươ ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{^}} = u^{3}

Nhân

u - 1

với

u^{3} : u^{4} - u^{3}

Trừ

u^{4} - u^{3}

từ

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

để nhận số dư mới

s \overset{ˊ}{\overset{o}{^}} d ư = 2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

Vì vậy

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Chia

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Chia các hệ số đứng đầu của tử số

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

và ước số

u - 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

th ươ ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{^}} = 2 u^{2}

Nhân

u - 1

với

2 u^{2} : 2 u^{3} - 2 u^{2}

Trừ

2 u^{3} - 2 u^{2}

từ

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

để nhận số dư mới

s \overset{ˊ}{\overset{o}{^}} d ư = - 2 u^{2} + u + 1

Vì vậy

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= u^{3} + 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Chia

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Chia các hệ số đứng đầu của tử số

- 2 u^{2} + u + 1

và ước số

u - 1 : \frac{- 2 u ^{2}}{u} = - 2 u

th ươ ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{^}} = - 2 u

Nhân

u - 1

với

- 2 u : - 2 u^{2} + 2 u

Trừ

- 2 u^{2} + 2 u

từ

- 2 u^{2} + u + 1

để nhận số dư mới

s \overset{ˊ}{\overset{o}{^}} d ư = - u + 1

Vì vậy

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Chia

\frac{- u + 1}{u - 1} : \frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

Chia các hệ số đứng đầu của tử số

- u + 1

và ước số

u - 1 : \frac{- u}{u} = - 1

th ươ ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{^}} = - 1

Nhân

u - 1

với

- 1 : - u + 1

Trừ

- u + 1

từ

- u + 1

để nhận số dư mới

s \overset{ˊ}{\overset{o}{^}} d ư = 0

Vì vậy

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

Hệ số

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1 : (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

Sử dụng định lý căn số hữu tỷ

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Các số bị chia của

a_{0} : 1,

Các số bị chia của

a_{n} : 1

Do đó, hãy kiểm tra các số hữu tỷ sau:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

là một nghiệm của biểu thức, vì vậy đưa ra ngoài ngoặc

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + 3 u + 1

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

Chia

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} : \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

Chia các hệ số đứng đầu của tử số

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

và ước số

u - 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

th ươ ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{^}} = u^{2}

Nhân

u - 1

với

u^{2} : u^{3} - u^{2}

Trừ

u^{3} - u^{2}

từ

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

để nhận số dư mới

s \overset{ˊ}{\overset{o}{^}} d ư = 3 u^{2} - 2 u - 1

Vì vậy

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

= u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

Chia

\frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} : \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Chia các hệ số đứng đầu của tử số

3 u^{2} - 2 u - 1

và ước số

u - 1 : \frac{3 u ^{2}}{u} = 3 u

th ươ ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{^}} = 3 u

Nhân

u - 1

với

3 u : 3 u^{2} - 3 u

Trừ

3 u^{2} - 3 u

từ

3 u^{2} - 2 u - 1

để nhận số dư mới

s \overset{ˊ}{\overset{o}{^}} d ư = u - 1

Vì vậy

\frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= u^{2} + 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Chia

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Chia các hệ số đứng đầu của tử số

u - 1

và ước số

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

th ươ ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{^}} = 1

Nhân

u - 1

với

1 : u - 1

Trừ

u - 1

từ

u - 1

để nhận số dư mới

s \overset{ˊ}{\overset{o}{^}} d ư = 0

Vì vậy

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= u^{2} + 3 u + 1

= u^{2} + 3 u + 1

= (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

= (u - 1) (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

Tinh chỉnh

= (u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1)

(u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1) = 0

Sử dụng Nguyên tắc Hệ số 0: Nếu

ab = 0

thì

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or u^{2} + 3 u + 1 = 0

Giải

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Di chuyển

1

sang vế phải

u - 1 = 0

Thêm

1

vào cả hai bên

u - 1 + 1 = 0 + 1

Rút gọn

u = 1

u = 1

Giải

u^{2} + 3 u + 1 = 0 : u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

u^{2} + 3 u + 1 = 0

Giải bằng căn thức bậc hai

u^{2} + 3 u + 1 = 0

Công thức phương trình bậc hai:

Với

a = 1, b = 3, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Nhân các số:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 3^{2} - 4

3^{2} = 9

= 9 - 4

Trừ các số:

9 - 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2 \cdot 1}

Tách các lời giải

u_{1} = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 + 5}{2}

\frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1}

Nhân các số:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 3 + 5}{2}

u = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 - 5}{2}

\frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1}

Nhân các số:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 3 - 5}{2}

Các nghiệm của phương trình bậc hai là:

u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

Các lời giải là

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

Xác minh lời giải

Tìm điểm không xác định (điểm kỳ dị):

u = 0

Lấy (các) mẫu số của

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u}

và so sánh với 0

Giải

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Áp dụng quy tắc

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

Các điểm sau đây là không xác định

u = 0

Kết hợp các tọa độ chưa xác định với các lời giải:

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

Thay thế lại

u = cot (x)

cot (x) = 1, cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}, cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = 1, cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}, cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = 1

Các lời giải chung cho

cot (x) = 1

cot (x)

bảng tuần hoàn với chu kỳ

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2} : x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

Áp dụng tính chất nghịch đảo lượng giác

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

Các lời giải chung cho

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

cot (x) = - a \Rightarrow x = arccot (- a) + πn

x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2} : x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

Áp dụng tính chất nghịch đảo lượng giác

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

Các lời giải chung cho

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = - a \Rightarrow x = arccot (- a) + πn

x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

Kết hợp tất cả các cách giải

x = \frac{π}{4} + πn, x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn, x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

Hiển thị các lời giải ở dạng thập phân

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.93566 \dots + πn, x = 2.77672 \dots + πn

Đồ Thị

Ví dụ phổ biến

tan(a)=0

tan (a) = 0

cos^2(x)+3|cos(x)|-1=0

cos^{2} (x) + 3 ∣ cos (x) ∣ - 1 = 0

cos^5(x)=sin(75)

cos^{5} (x) = sin (7 5^{\circ})

csc^2(x)=sec(x)

csc^{2} (x) = sec (x)

(2cos(x)-sin^2(x))=1+cos^2(x)

(2 cos (x) - sin^{2} (x)) = 1 + cos^{2} (x)