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Beliebt Trigonometrie >

-cos(x)-sin(x)=1

Lösung

- cos (x) - sin (x) = 1

Lösung

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = π + 2 πn

Grad

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- cos (x) - sin (x) = 1

Füge

sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

- cos (x) = 1 + sin (x)

Quadriere beide Seiten

(- cos (x))^{2} = (1 + sin (x))^{2}

Subtrahiere

(1 + sin (x))^{2}

von beiden Seiten

cos^{2} (x) - 1 - 2 sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 2 sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - sin^{2} (x) - 2 sin (x) - sin^{2} (x)

Vereinfache

= - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

- 2 sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 2 sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 2 u - 2 u^{2} = 0

- 2 u - 2 u^{2} = 0 : u = - 1, u = 0

- 2 u - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 2 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} - 2 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 2^{2} + 0

2^{2} + 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 ( - 2 )} : - 1

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2}{- 2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 ( - 2 )} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 2 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = 0

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - 1, sin (x) = 0

sin (x) = - 1, sin (x) = 0

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

- cos (x) - sin (x) = 1

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

- cos (x) - sin (x) = 1

ein, um zu lösen

- cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) - sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Falsch

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

x = 2 π 1

- cos (x) - sin (x) = 1

ein, um zu lösen

- cos (2 π 1) - sin (2 π 1) = 1

Fasse zusammen

- 1 = 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Wahr

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

x = π + 2 π 1

- cos (x) - sin (x) = 1

ein, um zu lösen

- cos (π + 2 π 1) - sin (π + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(2x)=sin(0.5x)

sin (2 x) = sin (0.5 x)

2sin(2x+15)= 1/2

2 sin (2 x + 15) = \frac{1}{2}

sin^2(x)-2cos^4(x)=0

sin^{2} (x) - 2 cos^{4} (x) = 0

2cos^2(θ)-1=sec(θ)

2 cos^{2} (θ) - 1 = sec (θ)

1/(sin(x))-sin(x)=sin(x)

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x) = sin (x)