解答
2cos(θ)−2cos(3θ)=0
解答
θ=2π+2πn,θ=23π+2πn,θ=π+2πn,θ=2πn
+1
度数
θ=90∘+360∘n,θ=270∘+360∘n,θ=180∘+360∘n,θ=0∘+360∘n求解步骤
2cos(θ)−2cos(3θ)=0
使用三角恒等式改写
−2cos(3θ)+2cos(θ)
cos(3θ)=4cos3(θ)−3cos(θ)
cos(3θ)
使用三角恒等式改写
cos(3θ)
改写为=cos(2θ+θ)
使用角和恒等式: cos(s+t)=cos(s)cos(t)−sin(s)sin(t)=cos(2θ)cos(θ)−sin(2θ)sin(θ)
使用倍角公式: sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ)=cos(2θ)cos(θ)−2sin(θ)cos(θ)sin(θ)
化简 cos(2θ)cos(θ)−2sin(θ)cos(θ)sin(θ):cos(θ)cos(2θ)−2sin2(θ)cos(θ)
cos(2θ)cos(θ)−2sin(θ)cos(θ)sin(θ)
2sin(θ)cos(θ)sin(θ)=2sin2(θ)cos(θ)
2sin(θ)cos(θ)sin(θ)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+csin(θ)sin(θ)=sin1+1(θ)=2cos(θ)sin1+1(θ)
数字相加:1+1=2=2cos(θ)sin2(θ)
=cos(θ)cos(2θ)−2sin2(θ)cos(θ)
=cos(θ)cos(2θ)−2sin2(θ)cos(θ)
=cos(θ)cos(2θ)−2sin2(θ)cos(θ)
使用倍角公式: cos(2θ)=2cos2(θ)−1=(2cos2(θ)−1)cos(θ)−2sin2(θ)cos(θ)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(θ)+sin2(θ)=1sin2(θ)=1−cos2(θ)=(2cos2(θ)−1)cos(θ)−2(1−cos2(θ))cos(θ)
乘开 (2cos2(θ)−1)cos(θ)−2(1−cos2(θ))cos(θ):4cos3(θ)−3cos(θ)
(2cos2(θ)−1)cos(θ)−2(1−cos2(θ))cos(θ)
=cos(θ)(2cos2(θ)−1)−2cos(θ)(1−cos2(θ))
乘开 cos(θ)(2cos2(θ)−1):2cos3(θ)−cos(θ)
cos(θ)(2cos2(θ)−1)
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=cos(θ),b=2cos2(θ),c=1=cos(θ)2cos2(θ)−cos(θ)1
=2cos2(θ)cos(θ)−1cos(θ)
化简 2cos2(θ)cos(θ)−1⋅cos(θ):2cos3(θ)−cos(θ)
2cos2(θ)cos(θ)−1cos(θ)
2cos2(θ)cos(θ)=2cos3(θ)
2cos2(θ)cos(θ)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+ccos2(θ)cos(θ)=cos2+1(θ)=2cos2+1(θ)
数字相加:2+1=3=2cos3(θ)
1⋅cos(θ)=cos(θ)
1cos(θ)
乘以:1⋅cos(θ)=cos(θ)=cos(θ)
=2cos3(θ)−cos(θ)
=2cos3(θ)−cos(θ)
=2cos3(θ)−cos(θ)−2(1−cos2(θ))cos(θ)
乘开 −2cos(θ)(1−cos2(θ)):−2cos(θ)+2cos3(θ)
−2cos(θ)(1−cos2(θ))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=−2cos(θ),b=1,c=cos2(θ)=−2cos(θ)1−(−2cos(θ))cos2(θ)
使用加减运算法则−(−a)=a=−2⋅1cos(θ)+2cos2(θ)cos(θ)
化简 −2⋅1⋅cos(θ)+2cos2(θ)cos(θ):−2cos(θ)+2cos3(θ)
−2⋅1cos(θ)+2cos2(θ)cos(θ)
2⋅1⋅cos(θ)=2cos(θ)
2⋅1cos(θ)
数字相乘:2⋅1=2=2cos(θ)
2cos2(θ)cos(θ)=2cos3(θ)
2cos2(θ)cos(θ)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+ccos2(θ)cos(θ)=cos2+1(θ)=2cos2+1(θ)
数字相加:2+1=3=2cos3(θ)
=−2cos(θ)+2cos3(θ)
=−2cos(θ)+2cos3(θ)
=2cos3(θ)−cos(θ)−2cos(θ)+2cos3(θ)
化简 2cos3(θ)−cos(θ)−2cos(θ)+2cos3(θ):4cos3(θ)−3cos(θ)
2cos3(θ)−cos(θ)−2cos(θ)+2cos3(θ)
对同类项分组=2cos3(θ)+2cos3(θ)−cos(θ)−2cos(θ)
同类项相加:2cos3(θ)+2cos3(θ)=4cos3(θ)=4cos3(θ)−cos(θ)−2cos(θ)
同类项相加:−cos(θ)−2cos(θ)=−3cos(θ)=4cos3(θ)−3cos(θ)
=4cos3(θ)−3cos(θ)
=4cos3(θ)−3cos(θ)
=−2(4cos3(θ)−3cos(θ))+2cos(θ)
化简 −2(4cos3(θ)−3cos(θ))+2cos(θ):−8cos3(θ)+8cos(θ)
−2(4cos3(θ)−3cos(θ))+2cos(θ)
乘开 −2(4cos3(θ)−3cos(θ)):−8cos3(θ)+6cos(θ)
−2(4cos3(θ)−3cos(θ))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=−2,b=4cos3(θ),c=3cos(θ)=−2⋅4cos3(θ)−(−2)⋅3cos(θ)
使用加减运算法则−(−a)=a=−2⋅4cos3(θ)+2⋅3cos(θ)
化简 −2⋅4cos3(θ)+2⋅3cos(θ):−8cos3(θ)+6cos(θ)
−2⋅4cos3(θ)+2⋅3cos(θ)
数字相乘:2⋅4=8=−8cos3(θ)+2⋅3cos(θ)
数字相乘:2⋅3=6=−8cos3(θ)+6cos(θ)
=−8cos3(θ)+6cos(θ)
=−8cos3(θ)+6cos(θ)+2cos(θ)
同类项相加:6cos(θ)+2cos(θ)=8cos(θ)=−8cos3(θ)+8cos(θ)
=−8cos3(θ)+8cos(θ)
8cos(θ)−8cos3(θ)=0
用替代法求解
8cos(θ)−8cos3(θ)=0
令:cos(θ)=u8u−8u3=0
8u−8u3=0:u=0,u=−1,u=1
8u−8u3=0
因式分解 8u−8u3:−8u(u+1)(u−1)
8u−8u3
因式分解出通项 −8u:−8u(u2−1)
−8u3+8u
使用指数法则: ab+c=abacu3=u2u=−8u2u+8u
因式分解出通项 −8u=−8u(u2−1)
=−8u(u2−1)
分解 u2−1:(u+1)(u−1)
u2−1
将 1 改写为 12=u2−12
使用平方差公式: x2−y2=(x+y)(x−y)u2−12=(u+1)(u−1)=(u+1)(u−1)
=−8u(u+1)(u−1)
−8u(u+1)(u−1)=0
使用零因数法则： If ab=0then a=0or b=0u=0oru+1=0oru−1=0
解 u+1=0:u=−1
u+1=0
将 1到右边
u+1=0
两边减去 1u+1−1=0−1
化简u=−1
u=−1
解 u−1=0:u=1
u−1=0
将 1到右边
u−1=0
两边加上 1u−1+1=0+1
化简u=1
u=1
解为u=0,u=−1,u=1
u=cos(θ)代回cos(θ)=0,cos(θ)=−1,cos(θ)=1
cos(θ)=0,cos(θ)=−1,cos(θ)=1
cos(θ)=0:θ=2π+2πn,θ=23π+2πn
cos(θ)=0
cos(θ)=0的通解
cos(x) 周期表（周期为 2πn）：
x06π4π3π2π32π43π65πcos(x)12322210−21−22−23xπ67π45π34π23π35π47π611πcos(x)−1−23−22−210212223
θ=2π+2πn,θ=23π+2πn
θ=2π+2πn,θ=23π+2πn
cos(θ)=−1:θ=π+2πn
cos(θ)=−1
cos(θ)=−1的通解
cos(x) 周期表（周期为 2πn）：
x06π4π3π2π32π43π65πcos(x)12322210−21−22−23xπ67π45π34π23π35π47π611πcos(x)−1−23−22−210212223
θ=π+2πn
θ=π+2πn
cos(θ)=1:θ=2πn
cos(θ)=1
cos(θ)=1的通解
cos(x) 周期表（周期为 2πn）：
x06π4π3π2π32π43π65πcos(x)12322210−21−22−23xπ67π45π34π23π35π47π611πcos(x)−1−23−22−210212223
θ=0+2πn
θ=0+2πn
解 θ=0+2πn:θ=2πn
θ=0+2πn
0+2πn=2πnθ=2πn
θ=2πn
合并所有解θ=2π+2πn,θ=23π+2πn,θ=π+2πn,θ=2πn