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Beliebt Trigonometrie >

cos(θ)(1+cos(θ))=sin^2(θ)

Lösung

cos (θ) (1 + cos (θ)) = sin^{2} (θ)

Lösung

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = π + 2 πn

Grad

θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (θ) (1 + cos (θ)) = sin^{2} (θ)

Subtrahiere

sin^{2} (θ)

von beiden Seiten

cos (θ) (1 + cos (θ)) - sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- sin^{2} (θ) + (1 + cos (θ)) cos (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - (1 - cos^{2} (θ)) + (1 + cos (θ)) cos (θ)

Vereinfache

- (1 - cos^{2} (θ)) + (1 + cos (θ)) cos (θ) : 2 cos^{2} (θ) + cos (θ) - 1

- (1 - cos^{2} (θ)) + (1 + cos (θ)) cos (θ)

= - (1 - cos^{2} (θ)) + cos (θ) (1 + cos (θ))

- (1 - cos^{2} (θ)) : - 1 + cos^{2} (θ)

- (1 - cos^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (θ)

= - 1 + cos^{2} (θ) + (1 + cos (θ)) cos (θ)

Multipliziere aus

cos (θ) (1 + cos (θ)) : cos (θ) + cos^{2} (θ)

cos (θ) (1 + cos (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = cos (θ), b = 1, c = cos (θ)

= cos (θ) \cdot 1 + cos (θ) cos (θ)

= 1 \cdot cos (θ) + cos (θ) cos (θ)

Vereinfache

1 \cdot cos (θ) + cos (θ) cos (θ) : cos (θ) + cos^{2} (θ)

1 \cdot cos (θ) + cos (θ) cos (θ)

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

1 \cdot cos (θ)

Multipliziere:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= cos (θ)

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

= cos (θ) + cos^{2} (θ)

= cos (θ) + cos^{2} (θ)

= - 1 + cos^{2} (θ) + cos (θ) + cos^{2} (θ)

Vereinfache

- 1 + cos^{2} (θ) + cos (θ) + cos^{2} (θ) : 2 cos^{2} (θ) + cos (θ) - 1

- 1 + cos^{2} (θ) + cos (θ) + cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{2} (θ) + cos (θ) + cos^{2} (θ) - 1

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (θ) + cos^{2} (θ) = 2 cos^{2} (θ)

= 2 cos^{2} (θ) + cos (θ) - 1

= 2 cos^{2} (θ) + cos (θ) - 1

= 2 cos^{2} (θ) + cos (θ) - 1

- 1 + cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 1 + u + 2 u^{2} = 0

- 1 + u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - 1

- 1 + u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 3

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 2 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 1 + 8

Addiere die Zahlen:

1 + 8 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = - 1

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = - 1

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = - 1

cos (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(θ)=-0.8,sin(pi^2-θ)

cos (θ) = - 0.8, sin (π^{2} - θ)

0=a(1+cos(2θ))

0 = a (1 + cos (2 θ))

4sin(2x)=3cos(x)

4 sin (2 x) = 3 cos (x)

sin(b)=((250km)/(590km))sin(23),82

sin (b) = (\frac{250 km}{590 km}) sin (2 3^{\circ}), 8 2^{\circ}

sin(x)= 30/60

sin (x) = \frac{30}{60}