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Beliebt Trigonometrie >

3sinh(2x)=5

Lösung

3 sinh (2 x) = 5

Lösung

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

Grad

x = 36.77803 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

3 sinh (2 x) = 5

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 sinh (2 x) = 5

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

3 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} = 5

3 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} = 5

3 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} = 5 : x = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

3 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} = 5

Wende Exponentenregel an

3 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} = 5

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}

3 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} - ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} = 5

3 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} - ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} = 5

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

3 \cdot \frac{( u ) ^{2} - ( u ) ^{- 2}}{2} = 5

Löse

3 \cdot \frac{u ^{2} - u ^{- 2}}{2} = 5 : u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

3 \cdot \frac{u ^{2} - u ^{- 2}}{2} = 5

Fasse zusammen

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} = 5

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} = 5

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} u^{2} = 5 u^{2}

Vereinfache

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2} = 5 u^{2}

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2} = 5 u^{2}

Löse

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2} = 5 u^{2} : u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2} = 5 u^{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2} = 5 u^{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2} \cdot 2 = 5 u^{2} \cdot 2

Vereinfache

3 (u^{4} - 1) = 10 u^{2}

3 (u^{4} - 1) = 10 u^{2}

Schreibe

3 (u^{4} - 1)

um:

3 u^{4} - 3

3 (u^{4} - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = u^{4}, c = 1

= 3 u^{4} - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 u^{4} - 3

3 u^{4} - 3 = 10 u^{2}

Verschiebe

10 u^{2}

auf die linke Seite

3 u^{4} - 3 = 10 u^{2}

Subtrahiere

10 u^{2}

von beiden Seiten

3 u^{4} - 3 - 10 u^{2} = 10 u^{2} - 10 u^{2}

Vereinfache

3 u^{4} - 3 - 10 u^{2} = 0

3 u^{4} - 3 - 10 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

3 u^{4} - 10 u^{2} - 3 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}

und

v^{2} = u^{4}

3 v^{2} - 10 v - 3 = 0

Löse

3 v^{2} - 10 v - 3 = 0 : v = \frac{5 + 34}{3}, v = \frac{5 - 34}{3}

3 v^{2} - 10 v - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 v^{2} - 10 v - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = - 10, c = - 3

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 3 )}{2 \cdot 3}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 3 )}{2 \cdot 3}

(- 10)^{2} - 4 \cdot 3 (- 3) = 234

(- 10)^{2} - 4 \cdot 3 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 10)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 10)^{2} = 1 0^{2}

= 1 0^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 1 0^{2} + 36

1 0^{2} = 100

= 100 + 36

Addiere die Zahlen:

100 + 36 = 136

= 136

Primfaktorzerlegung von

136 : 2^{3} \cdot 17

136

136

ist durch

2136 = 68 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 68

68

ist durch

268 = 34 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 34

34

ist durch

234 = 17 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 17

2, 17

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 17

= 2^{3} \cdot 17

= 2^{3} \cdot 17

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 17

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 2 \cdot 17

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 17

Fasse zusammen

= 234

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm 2 34}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

v_{1} = \frac{- ( - 10 ) + 2 34}{2 \cdot 3}, v_{2} = \frac{- ( - 10 ) - 2 34}{2 \cdot 3}

v = \frac{- ( - 10 ) + 2 34}{2 \cdot 3} : \frac{5 + 34}{3}

\frac{- ( - 10 ) + 2 34}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{10 + 2 34}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{10 + 2 34}{6}

Faktorisiere

10 + 234 : 2 (5 + 34)

10 + 234

Schreibe um

= 2 \cdot 5 + 234

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (5 + 34)

= \frac{2 ( 5 + 34 )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5 + 34}{3}

v = \frac{- ( - 10 ) - 2 34}{2 \cdot 3} : \frac{5 - 34}{3}

\frac{- ( - 10 ) - 2 34}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{10 - 2 34}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{10 - 2 34}{6}

Faktorisiere

10 - 234 : 2 (5 - 34)

10 - 234

Schreibe um

= 2 \cdot 5 - 234

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (5 - 34)

= \frac{2 ( 5 - 34 )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5 - 34}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

v = \frac{5 + 34}{3}, v = \frac{5 - 34}{3}

v = \frac{5 + 34}{3}, v = \frac{5 - 34}{3}

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = \frac{5 + 34}{3} : u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

u^{2} = \frac{5 + 34}{3}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

Löse

u^{2} = \frac{5 - 34}{3} :

Keine Lösung für

u \in R

u^{2} = \frac{5 - 34}{3}

x^{2}

kann nicht negativ sein für

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r u \in R

Die Lösungen sind

u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

3 \frac{u ^{2} - u ^{- 2}}{2}

und vergleiche mit Null

Löse

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = \frac{5 + 34}{3} : x = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

e^{x} = \frac{5 + 34}{3}

Wende Exponentenregel an

e^{x} = \frac{5 + 34}{3}

Wende Exponentenregel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

\frac{5 + 34}{3} = (\frac{5 + 34}{3})^{\frac{1}{2}}

e^{x} = (\frac{5 + 34}{3})^{\frac{1}{2}}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 + 34}{3})^{\frac{1}{2}}

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 + 34}{3})^{\frac{1}{2}}

Wende die log Regel an:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (\frac{5 + 34}{3})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

Löse

e^{x} = - \frac{5 + 34}{3} :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = - \frac{5 + 34}{3}

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x/(25.4))=35

sin (\frac{x}{25.4}) = 35

2/3 =(sin(x))/(sin(135))

\frac{2}{3} = \frac{sin ( x )}{sin ( 13 5 ^{\circ} )}

sin(x)+2(cos(x))^2=1

sin (x) + 2 (cos (x))^{2} = 1

asin(2θ)=0

a sin (2 θ) = 0

cos(2x)=0,x<= 2pi,0

cos (2 x) = 0, x \leq 2 π, 0