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Beliebt Trigonometrie >

8cos(2x)=2sin(x)+7

Lösung

8 cos (2 x) = 2 sin (x) + 7

Lösung

x = - 0.32593 \dots + 2 πn, x = π + 0.32593 \dots + 2 πn, x = 0.19645 \dots + 2 πn, x = π - 0.19645 \dots + 2 πn

Grad

x = - 18.67466 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 198.67466 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 11.25606 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 168.74393 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

8 cos (2 x) = 2 sin (x) + 7

Subtrahiere

2 sin (x) + 7

von beiden Seiten

8 cos (2 x) - 2 sin (x) - 7 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 7 - 2 sin (x) + 8 cos (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 7 - 2 sin (x) + 8 (1 - 2 sin^{2} (x))

Vereinfache

- 7 - 2 sin (x) + 8 (1 - 2 sin^{2} (x)) : - 16 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1

- 7 - 2 sin (x) + 8 (1 - 2 sin^{2} (x))

Multipliziere aus

8 (1 - 2 sin^{2} (x)) : 8 - 16 sin^{2} (x)

8 (1 - 2 sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 8, b = 1, c = 2 sin^{2} (x)

= 8 \cdot 1 - 8 \cdot 2 sin^{2} (x)

Vereinfache

8 \cdot 1 - 8 \cdot 2 sin^{2} (x) : 8 - 16 sin^{2} (x)

8 \cdot 1 - 8 \cdot 2 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

8 \cdot 1 = 8

= 8 - 8 \cdot 2 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

8 \cdot 2 = 16

= 8 - 16 sin^{2} (x)

= 8 - 16 sin^{2} (x)

= - 7 - 2 sin (x) + 8 - 16 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 7 - 2 sin (x) + 8 - 16 sin^{2} (x) : - 16 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1

- 7 - 2 sin (x) + 8 - 16 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 sin (x) - 16 sin^{2} (x) - 7 + 8

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 7 + 8 = 1

= - 16 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1

= - 16 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1

= - 16 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1

1 - 16 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

1 - 16 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

1 - 16 u^{2} - 2 u = 0

1 - 16 u^{2} - 2 u = 0 : u = - \frac{1 + 17}{16}, u = \frac{17 - 1}{16}

1 - 16 u^{2} - 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 16 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 16 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 16, b = - 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 1}{2 ( - 16 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 1}{2 ( - 16 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 16) \cdot 1 = 217

(- 2)^{2} - 4 (- 16) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 16 \cdot 1 = 64

= 2^{2} + 64

2^{2} = 4

= 4 + 64

Addiere die Zahlen:

4 + 64 = 68

= 68

Primfaktorzerlegung von

68 : 2^{2} \cdot 17

68

68

ist durch

268 = 34 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 34

34

ist durch

234 = 17 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 17

2, 17

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 17

= 2^{2} \cdot 17

= 2^{2} \cdot 17

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 17 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 217

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 17}{2 ( - 16 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 17}{2 ( - 16 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 17}{2 ( - 16 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 17}{2 ( - 16 )} : - \frac{1 + 17}{16}

\frac{- ( - 2 ) + 2 17}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2 17}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{2 + 2 17}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 + 2 17}{32}

Streiche

\frac{2 + 2 17}{32} : \frac{1 + 17}{16}

\frac{2 + 2 17}{32}

Faktorisiere

2 + 217 : 2 (1 + 17)

2 + 217

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 217

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 17)

= \frac{2 ( 1 + 17 )}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 17}{16}

= - \frac{1 + 17}{16}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 17}{2 ( - 16 )} : \frac{17 - 1}{16}

\frac{- ( - 2 ) - 2 17}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2 17}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{2 - 2 17}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

2 - 217 = - (217 - 2)

= \frac{2 17 - 2}{32}

Faktorisiere

217 - 2 : 2 (17 - 1)

217 - 2

Schreibe um

= 217 - 2 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (17 - 1)

= \frac{2 ( 17 - 1 )}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{17 - 1}{16}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1 + 17}{16}, u = \frac{17 - 1}{16}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{1 + 17}{16}, sin (x) = \frac{17 - 1}{16}

sin (x) = - \frac{1 + 17}{16}, sin (x) = \frac{17 - 1}{16}

sin (x) = - \frac{1 + 17}{16} : x = arcsin (- \frac{1 + 17}{16}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 17}{16}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 17}{16}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{1 + 17}{16}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{1 + 17}{16}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 17}{16}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 17}{16}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 17}{16}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 17}{16}) + 2 πn

sin (x) = \frac{17 - 1}{16} : x = arcsin (\frac{17 - 1}{16}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{17 - 1}{16}) + 2 πn

sin (x) = \frac{17 - 1}{16}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{17 - 1}{16}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{17 - 1}{16}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{17 - 1}{16}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{17 - 1}{16}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{17 - 1}{16}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{17 - 1}{16}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{1 + 17}{16}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 17}{16}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{17 - 1}{16}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{17 - 1}{16}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 0.32593 \dots + 2 πn, x = π + 0.32593 \dots + 2 πn, x = 0.19645 \dots + 2 πn, x = π - 0.19645 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(θ)=0.5332,θ

cos (θ) = 0.5332, θ

sin(k)=0.5

sin (k) = 0.5

cos(5a+40)= 3/5

cos (5 a + 4 0^{\circ}) = \frac{3}{5}

2cos(x^2)-sqrt(2)=0

2 cos (x^{2}) - 2 = 0

solvefor x,sin(x)=-sqrt(2)*cos(x)

so l v e f or x, sin (x) = - 2 \cdot cos (x)