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Populaire Trigonométrie >

2sinh(2x)-6cosh(x)=0

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Solution

2sinh(2x)−6cosh(x)=0

Solution

x=ln(3.30277…)
+1
Degrés
x=68.45488…∘
étapes des solutions
2sinh(2x)−6cosh(x)=0
Récrire en utilisant des identités trigonométriques
2sinh(2x)−6cosh(x)=0
Use the Hyperbolic identity: sinh(x)=2ex−e−x​2⋅2e2x−e−2x​−6cosh(x)=0
Use the Hyperbolic identity: cosh(x)=2ex+e−x​2⋅2e2x−e−2x​−6⋅2ex+e−x​=0
2⋅2e2x−e−2x​−6⋅2ex+e−x​=0
2⋅2e2x−e−2x​−6⋅2ex+e−x​=0:x=ln(3.30277…)
2⋅2e2x−e−2x​−6⋅2ex+e−x​=0
Ajouter 62ex+e−x​ aux deux côtés2⋅2e2x−e−2x​−6⋅2ex+e−x​+6⋅2ex+e−x​=0+6⋅2ex+e−x​
Simplifiere2x−e−2x=3(ex+e−x)
Appliquer les règles des exposants
e2x−e−2x=3(ex+e−x)
Appliquer la règle de l'exposant: abc=(ab)ce2x=(ex)2,e−2x=(ex)−2,e−x=(ex)−1(ex)2−(ex)−2=3(ex+(ex)−1)
(ex)2−(ex)−2=3(ex+(ex)−1)
Récrire l'équation avec ex=u(u)2−(u)−2=3(u+(u)−1)
Résoudre u2−u−2=3(u+u−1):u≈−0.30277…,u≈3.30277…
u2−u−2=3(u+u−1)
Redéfiniru2−u21​=3(u+u1​)
Multiplier les deux côtés par u2
u2−u21​=3(u+u1​)
Multiplier les deux côtés par u2u2u2−u21​u2=3(u+u1​)u2
Simplifier
u2u2−u21​u2=3(u+u1​)u2
Simplifier u2u2:u4
u2u2
Appliquer la règle de l'exposant: ab⋅ac=ab+cu2u2=u2+2=u2+2
Additionner les nombres : 2+2=4=u4
Simplifier −u21​u2:−1
−u21​u2
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=−u21⋅u2​
Annuler le facteur commun : u2=−1
u4−1=3(u+u1​)u2
u4−1=3(u+u1​)u2
u4−1=3(u+u1​)u2
Développer 3(u+u1​)u2:3u3+3u
3(u+u1​)u2
=3u2(u+u1​)
Appliquer la loi de la distribution: a(b+c)=ab+aca=3u2,b=u,c=u1​=3u2u+3u2u1​
=3u2u+3⋅u1​u2
Simplifier 3u2u+3⋅u1​u2:3u3+3u
3u2u+3⋅u1​u2
3u2u=3u3
3u2u
Appliquer la règle de l'exposant: ab⋅ac=ab+cu2u=u2+1=3u2+1
Additionner les nombres : 2+1=3=3u3
3⋅u1​u2=3u
3⋅u1​u2
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=u1⋅3u2​
Multiplier les nombres : 1⋅3=3=u3u2​
Annuler le facteur commun : u=3u
=3u3+3u
=3u3+3u
u4−1=3u3+3u
Résoudre u4−1=3u3+3u:u≈−0.30277…,u≈3.30277…
u4−1=3u3+3u
Déplacer 3uvers la gauche
u4−1=3u3+3u
Soustraire 3u des deux côtésu4−1−3u=3u3+3u−3u
Simplifieru4−1−3u=3u3
u4−1−3u=3u3
Déplacer 3u3vers la gauche
u4−1−3u=3u3
Soustraire 3u3 des deux côtésu4−1−3u−3u3=3u3−3u3
Simplifieru4−1−3u−3u3=0
u4−1−3u−3u3=0
Ecrire sous la forme standard an​xn+…+a1​x+a0​=0u4−3u3−3u−1=0
Trouver une solution pour u4−3u3−3u−1=0 par la méthode de Newton-Raphson:u≈−0.30277…
u4−3u3−3u−1=0
Définition de l'approximation de Newton-Raphson
f(u)=u4−3u3−3u−1
Trouver f′(u):4u3−9u2−3
dud​(u4−3u3−3u−1)
Appliquer la règle de l'addition/soustraction: (f±g)′=f′±g′=dud​(u4)−dud​(3u3)−dud​(3u)−dud​(1)
dud​(u4)=4u3
dud​(u4)
Appliquer la règle de la puissance: dxd​(xa)=a⋅xa−1=4u4−1
Simplifier=4u3
dud​(3u3)=9u2
dud​(3u3)
Retirer la constante: (a⋅f)′=a⋅f′=3dud​(u3)
Appliquer la règle de la puissance: dxd​(xa)=a⋅xa−1=3⋅3u3−1
Simplifier=9u2
dud​(3u)=3
dud​(3u)
Retirer la constante: (a⋅f)′=a⋅f′=3dudu​
Appliquer la dérivée commune: dudu​=1=3⋅1
Simplifier=3
dud​(1)=0
dud​(1)
Dérivée d'une constante: dxd​(a)=0=0
=4u3−9u2−3−0
Simplifier=4u3−9u2−3
Soit u0​=0Calculer un+1​ jusqu'à Δun+1​<0.000001
u1​=−0.33333…:Δu1​=0.33333…
f(u0​)=04−3⋅03−3⋅0−1=−1f′(u0​)=4⋅03−9⋅02−3=−3u1​=−0.33333…
Δu1​=∣−0.33333…−0∣=0.33333…Δu1​=0.33333…
u2​=−0.30357…:Δu2​=0.02976…
f(u1​)=(−0.33333…)4−3(−0.33333…)3−3(−0.33333…)−1=0.12345…f′(u1​)=4(−0.33333…)3−9(−0.33333…)2−3=−4.14814…u2​=−0.30357…
Δu2​=∣−0.30357…−(−0.33333…)∣=0.02976…Δu2​=0.02976…
u3​=−0.30277…:Δu3​=0.00079…
f(u2​)=(−0.30357…)4−3(−0.30357…)3−3(−0.30357…)−1=0.00313…f′(u2​)=4(−0.30357…)3−9(−0.30357…)2−3=−3.94130…u3​=−0.30277…
Δu3​=∣−0.30277…−(−0.30357…)∣=0.00079…Δu3​=0.00079…
u4​=−0.30277…:Δu4​=5.27302E−7
f(u3​)=(−0.30277…)4−3(−0.30277…)3−3(−0.30277…)−1=2.07551E−6f′(u3​)=4(−0.30277…)3−9(−0.30277…)2−3=−3.93608…u4​=−0.30277…
Δu4​=∣−0.30277…−(−0.30277…)∣=5.27302E−7Δu4​=5.27302E−7
u≈−0.30277…
Appliquer une division longue:u+0.30277…u4−3u3−3u−1​=u3−3.30277…u2+u−3.30277…
u3−3.30277…u2+u−3.30277…≈0
Trouver une solution pour u3−3.30277…u2+u−3.30277…=0 par la méthode de Newton-Raphson:u≈3.30277…
u3−3.30277…u2+u−3.30277…=0
Définition de l'approximation de Newton-Raphson
f(u)=u3−3.30277…u2+u−3.30277…
Trouver f′(u):3u2−6.60555…u+1.00000…
dud​(u3−3.30277…u2+u−3.30277…)
Appliquer la règle de l'addition/soustraction: (f±g)′=f′±g′=dud​(u3)−dud​(3.30277…u2)+dudu​−dud​(3.30277…)
dud​(u3)=3u2
dud​(u3)
Appliquer la règle de la puissance: dxd​(xa)=a⋅xa−1=3u3−1
Simplifier=3u2
dud​(3.30277…u2)=6.60555…u
dud​(3.30277…u2)
Retirer la constante: (a⋅f)′=a⋅f′=3.30277…dud​(u2)
Appliquer la règle de la puissance: dxd​(xa)=a⋅xa−1=3.30277…⋅2u2−1
Simplifier=6.60555…u
dudu​=1
dudu​
Appliquer la dérivée commune: dudu​=1=1
dud​(3.30277…)=0
dud​(3.30277…)
Dérivée d'une constante: dxd​(a)=0=0
=3u2−6.60555…u+1−0
Simplifier=3u2−6.60555…u+1.00000…
Soit u0​=3Calculer un+1​ jusqu'à Δun+1​<0.000001
u1​=3.36999…:Δu1​=0.36999…
f(u0​)=33−3.30277…⋅32+3−3.30277…=−3.02775…f′(u0​)=3⋅32−6.60555…⋅3+1.00000…=8.18334…u1​=3.36999…
Δu1​=∣3.36999…−3∣=0.36999…Δu1​=0.36999…
u2​=3.30515…:Δu2​=0.06483…
f(u1​)=3.36999…3−3.30277…⋅3.36999…2+3.36999…−3.30277…=0.83055…f′(u1​)=3⋅3.36999…2−6.60555…⋅3.36999…+1.00000…=12.80985…u2​=3.30515…
Δu2​=∣3.30515…−3.36999…∣=0.06483…Δu2​=0.06483…
u3​=3.30277…:Δu3​=0.00237…
f(u2​)=3.30515…3−3.30277…⋅3.30515…2+3.30515…−3.30277…=0.02834…f′(u2​)=3⋅3.30515…2−6.60555…⋅3.30515…+1.00000…=11.93974…u3​=3.30277…
Δu3​=∣3.30277…−3.30515…∣=0.00237…Δu3​=0.00237…
u4​=3.30277…:Δu4​=3.12826E−6
f(u3​)=3.30277…3−3.30277…⋅3.30277…2+3.30277…−3.30277…=0.00003…f′(u3​)=3⋅3.30277…2−6.60555…⋅3.30277…+1.00000…=11.90836…u4​=3.30277…
Δu4​=∣3.30277…−3.30277…∣=3.12826E−6Δu4​=3.12826E−6
u5​=3.30277…:Δu5​=5.42823E−12
f(u4​)=3.30277…3−3.30277…⋅3.30277…2+3.30277…−3.30277…=6.46412E−11f′(u4​)=3⋅3.30277…2−6.60555…⋅3.30277…+1.00000…=11.90832…u5​=3.30277…
Δu5​=∣3.30277…−3.30277…∣=5.42823E−12Δu5​=5.42823E−12
u≈3.30277…
Appliquer une division longue:u−3.30277…u3−3.30277…u2+u−3.30277…​=u2+1
u2+1≈0
Trouver une solution pour u2+1=0 par la méthode de Newton-Raphson:Aucune solution pour u∈R
u2+1=0
Définition de l'approximation de Newton-Raphson
f(u)=u2+1
Trouver f′(u):2u
dud​(u2+1)
Appliquer la règle de l'addition/soustraction: (f±g)′=f′±g′=dud​(u2)+dud​(1)
dud​(u2)=2u
dud​(u2)
Appliquer la règle de la puissance: dxd​(xa)=a⋅xa−1=2u2−1
Simplifier=2u
dud​(1)=0
dud​(1)
Dérivée d'une constante: dxd​(a)=0=0
=2u+0
Simplifier=2u
Soit u0​=−2Calculer un+1​ jusqu'à Δun+1​<0.000001
u1​=−0.74999…:Δu1​=1.25
f(u0​)=(−2)2+1=5.00000…f′(u0​)=2(−2)=−4.00000…u1​=−0.74999…
Δu1​=∣−0.74999…−(−2)∣=1.25Δu1​=1.25
u2​=0.29166…:Δu2​=1.04166…
f(u1​)=(−0.74999…)2+1=1.56250…f′(u1​)=2(−0.74999…)=−1.5u2​=0.29166…
Δu2​=∣0.29166…−(−0.74999…)∣=1.04166…Δu2​=1.04166…
u3​=−1.56845…:Δu3​=1.86011…
f(u2​)=0.29166…2+1=1.08506…f′(u2​)=2⋅0.29166…=0.58333…u3​=−1.56845…
Δu3​=∣−1.56845…−0.29166…∣=1.86011…Δu3​=1.86011…
u4​=−0.46544…:Δu4​=1.10301…
f(u3​)=(−1.56845…)2+1=3.46004…f′(u3​)=2(−1.56845…)=−3.13690…u4​=−0.46544…
Δu4​=∣−0.46544…−(−1.56845…)∣=1.10301…Δu4​=1.10301…
u5​=0.84153…:Δu5​=1.30697…
f(u4​)=(−0.46544…)2+1=1.21663…f′(u4​)=2(−0.46544…)=−0.93088…u5​=0.84153…
Δu5​=∣0.84153…−(−0.46544…)∣=1.30697…Δu5​=1.30697…
u6​=−0.17339…:Δu6​=1.01492…
f(u5​)=0.84153…2+1=1.70817…f′(u5​)=2⋅0.84153…=1.68306…u6​=−0.17339…
Δu6​=∣−0.17339…−0.84153…∣=1.01492…Δu6​=1.01492…
u7​=2.79697…:Δu7​=2.97036…
f(u6​)=(−0.17339…)2+1=1.03006…f′(u6​)=2(−0.17339…)=−0.34678…u7​=2.79697…
Δu7​=∣2.79697…−(−0.17339…)∣=2.97036…Δu7​=2.97036…
u8​=1.21972…:Δu8​=1.57725…
f(u7​)=2.79697…2+1=8.82306…f′(u7​)=2⋅2.79697…=5.59394…u8​=1.21972…
Δu8​=∣1.21972…−2.79697…∣=1.57725…Δu8​=1.57725…
u9​=0.19993…:Δu9​=1.01979…
f(u8​)=1.21972…2+1=2.48772…f′(u8​)=2⋅1.21972…=2.43944…u9​=0.19993…
Δu9​=∣0.19993…−1.21972…∣=1.01979…Δu9​=1.01979…
u10​=−2.40088…:Δu10​=2.60081…
f(u9​)=0.19993…2+1=1.03997…f′(u9​)=2⋅0.19993…=0.39986…u10​=−2.40088…
Δu10​=∣−2.40088…−0.19993…∣=2.60081…Δu10​=2.60081…
Impossible de trouver une solution
Les solutions sontu≈−0.30277…,u≈3.30277…
u≈−0.30277…,u≈3.30277…
Vérifier les solutions
Trouver les points non définis (singularité):u=0
Prendre le(s) dénominateur(s) de u2−u−2 et le comparer à zéro
Résoudre u2=0:u=0
u2=0
Appliquer la règle xn=0⇒x=0
u=0
Prendre le(s) dénominateur(s) de 3(u+u−1) et le comparer à zéro
u=0
Les points suivants ne sont pas définisu=0
Combiner des points indéfinis avec des solutions :
u≈−0.30277…,u≈3.30277…
u≈−0.30277…,u≈3.30277…
Resubstituer u=ex,résoudre pour x
Résoudre ex=−0.30277…:Aucune solution pour x∈R
ex=−0.30277…
af(x) ne peut pas être nulle ou négative pour x∈RAucunesolutionpourx∈R
Résoudre ex=3.30277…:x=ln(3.30277…)
ex=3.30277…
Appliquer les règles des exposants
ex=3.30277…
Si f(x)=g(x), alors ln(f(x))=ln(g(x))ln(ex)=ln(3.30277…)
Appliquer la loi des logarithmes: ln(ea)=aln(ex)=xx=ln(3.30277…)
x=ln(3.30277…)
x=ln(3.30277…)
x=ln(3.30277…)

Graphe

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Exemples populaires

-cos(x)=-1−cos(x)=−1sin^2(x)csc(x)=-1/2sin2(x)csc(x)=−21​sec^2(2x)-1=0sec2(2x)−1=01=2cos(x)1=2cos(x)solvefor x,y=arcsin(x/(11))solveforx,y=arcsin(11x​)
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