English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

cos(θ)cos(3θ)-1=0

الحلّ

cos (θ) cos (3 θ) - 1 = 0

الحلّ

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

درجات

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

خطوات الحلّ

cos (θ) cos (3 θ) - 1 = 0

Rewrite using trig identities

- 1 + cos (3 θ) cos (θ)

cos (3 θ) = 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

cos (3 θ)

Rewrite using trig identities

cos (3 θ)

أعد الكتابة كـ

= cos (2 θ + θ)

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

:فعّل متطابقة الجمع لزوايا

= cos (2 θ) cos (θ) - sin (2 θ) sin (θ)

sin (2 θ) = 2 sin (θ) cos (θ)

:فعّل متطابقة الزاوية المضاعفة

= cos (2 θ) cos (θ) - 2 sin (θ) cos (θ) sin (θ)

cos (2 θ) cos (θ) - 2 sin (θ) cos (θ) sin (θ)

بسّط:

cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

cos (2 θ) cos (θ) - 2 sin (θ) cos (θ) sin (θ)

2 sin (θ) cos (θ) sin (θ) = 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

2 sin (θ) cos (θ) sin (θ)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:فعّل قانون القوى

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= 2 cos (θ) sin^{1 + 1} (θ)

1 + 1 = 2 :

اجمع الأعداد

= 2 cos (θ) sin^{2} (θ)

= cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

= cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

= cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

:فعّل متطابقة الزاوية المضاعفة

= (2 cos^{2} (θ) - 1) cos (θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 1

:فعّل نطريّة فيتاغوروس

sin^{2} (θ) = 1 - cos^{2} (θ)

= (2 cos^{2} (θ) - 1) cos (θ) - 2 (1 - cos^{2} (θ)) cos (θ)

(2 cos^{2} (θ) - 1) cos (θ) - 2 (1 - cos^{2} (θ)) cos (θ)

وسٌع:

4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

(2 cos^{2} (θ) - 1) cos (θ) - 2 (1 - cos^{2} (θ)) cos (θ)

= cos (θ) (2 cos^{2} (θ) - 1) - 2 cos (θ) (1 - cos^{2} (θ))

cos (θ) (2 cos^{2} (θ) - 1)

وسٌع:

2 cos^{3} (θ) - cos (θ)

cos (θ) (2 cos^{2} (θ) - 1)

a (b - c) = ab - a c

: افتح أقواس بالاستعانة بـ

a = cos (θ), b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= cos (θ) 2 cos^{2} (θ) - cos (θ) 1

= 2 cos^{2} (θ) cos (θ) - 1 cos (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ) - 1 \cdot cos (θ)

بسّط:

2 cos^{3} (θ) - cos (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ) - 1 cos (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ) = 2 cos^{3} (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:فعّل قانون القوى

cos^{2} (θ) cos (θ) = cos^{2 + 1} (θ)

= 2 cos^{2 + 1} (θ)

2 + 1 = 3 :

اجمع الأعداد

= 2 cos^{3} (θ)

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

1 cos (θ)

1 \cdot cos (θ) = cos (θ) :

اضرب

= cos (θ)

= 2 cos^{3} (θ) - cos (θ)

= 2 cos^{3} (θ) - cos (θ)

= 2 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 (1 - cos^{2} (θ)) cos (θ)

- 2 cos (θ) (1 - cos^{2} (θ))

وسٌع:

- 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

- 2 cos (θ) (1 - cos^{2} (θ))

a (b - c) = ab - a c

: افتح أقواس بالاستعانة بـ

a = - 2 cos (θ), b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 2 cos (θ) 1 - (- 2 cos (θ)) cos^{2} (θ)

فعّل قوانين سالب-موجب

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) cos (θ)

- 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) cos (θ)

بسّط:

- 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

- 2 \cdot 1 cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) cos (θ)

2 \cdot 1 \cdot cos (θ) = 2 cos (θ)

2 \cdot 1 cos (θ)

2 \cdot 1 = 2 :

اضرب الأعداد

= 2 cos (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ) = 2 cos^{3} (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:فعّل قانون القوى

cos^{2} (θ) cos (θ) = cos^{2 + 1} (θ)

= 2 cos^{2 + 1} (θ)

2 + 1 = 3 :

اجمع الأعداد

= 2 cos^{3} (θ)

= - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

= - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

= 2 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

2 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

بسّط:

4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

2 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

جمّع التعابير المتشابهة

= 2 cos^{3} (θ) + 2 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 cos (θ)

2 cos^{3} (θ) + 2 cos^{3} (θ) = 4 cos^{3} (θ) :

اجمع العناصر المتشابهة

= 4 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 cos (θ)

- cos (θ) - 2 cos (θ) = - 3 cos (θ) :

اجمع العناصر المتشابهة

= 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

= 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

= 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

= - 1 + (4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)) cos (θ)

- 1 + (- 3 cos (θ) + 4 cos^{3} (θ)) cos (θ) = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

- 1 + (- 3 cos (θ) + 4 cos^{3} (θ)) cos (θ) = 0

cos (θ) = u :

على افتراض أنّ

- 1 + (- 3 u + 4 u^{3}) u = 0

- 1 + (- 3 u + 4 u^{3}) u = 0 : u = 1, u = - 1, u = i \frac{1}{2}, u = - i \frac{1}{2}

- 1 + (- 3 u + 4 u^{3}) u = 0

- 1 + (- 3 u + 4 u^{3}) u

وسّع:

- 1 - 3 u^{2} + 4 u^{4}

- 1 + (- 3 u + 4 u^{3}) u

= - 1 + u (- 3 u + 4 u^{3})

u (- 3 u + 4 u^{3})

وسٌع:

- 3 u^{2} + 4 u^{4}

u (- 3 u + 4 u^{3})

a (b + c) = ab + a c

: افتح أقواس بالاستعانة بـ

a = u, b = - 3 u, c = 4 u^{3}

= u (- 3 u) + u \cdot 4 u^{3}

فعّل قوانين سالب-موجب

+ (- a) = - a

= - 3 uu + 4 u^{3} u

- 3 uu + 4 u^{3} u

بسّط:

- 3 u^{2} + 4 u^{4}

- 3 uu + 4 u^{3} u

3 uu = 3 u^{2}

3 uu

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:فعّل قانون القوى

uu = u^{1 + 1}

= 3 u^{1 + 1}

1 + 1 = 2 :

اجمع الأعداد

= 3 u^{2}

4 u^{3} u = 4 u^{4}

4 u^{3} u

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:فعّل قانون القوى

u^{3} u = u^{3 + 1}

= 4 u^{3 + 1}

3 + 1 = 4 :

اجمع الأعداد

= 4 u^{4}

= - 3 u^{2} + 4 u^{4}

= - 3 u^{2} + 4 u^{4}

= - 1 - 3 u^{2} + 4 u^{4}

- 1 - 3 u^{2} + 4 u^{4} = 0

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

اكتب بالصورة الاعتياديّة

4 u^{4} - 3 u^{2} - 1 = 0

v^{2} = u^{4}

وكذلك

v = u^{2}

اكتب المعادلة مجددًا، بحيث أنّ

4 v^{2} - 3 v - 1 = 0

4 v^{2} - 3 v - 1 = 0

حلّ:

v = 1, v = - \frac{1}{4}

4 v^{2} - 3 v - 1 = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

4 v^{2} - 3 v - 1 = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = 4, b = - 3, c = - 1

لـ

v_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 5

(- 3)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

- (- a) = a

فعّل القانون

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

زوجيّ n

إذا تحقّق أنّ

, (- a)^{n} = a^{n}

:فعّل قانون القوى

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 :

اضرب الأعداد

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

9 + 16 = 25 :

اجمع الأعداد

= 25

25 = 5^{2} :

حلّل العدد لعوامله أوّليّة

= 5^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

5^{2} = 5

= 5

v_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 5}{2 \cdot 4}

Separate the solutions

v_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 \cdot 4}, v_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 \cdot 4}

v = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 3 ) + 5}{2 \cdot 4}

- (- a) = a

فعّل القانون

= \frac{3 + 5}{2 \cdot 4}

3 + 5 = 8 :

اجمع الأعداد

= \frac{8}{2 \cdot 4}

2 \cdot 4 = 8 :

اضرب الأعداد

= \frac{8}{8}

\frac{a}{a} = 1

فعّل القانون

= 1

v = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{4}

\frac{- ( - 3 ) - 5}{2 \cdot 4}

- (- a) = a

فعّل القانون

= \frac{3 - 5}{2 \cdot 4}

3 - 5 = - 2 :

اطرح الأعداد

= \frac{- 2}{2 \cdot 4}

2 \cdot 4 = 8 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 2}{8}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{2}{8}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= - \frac{1}{4}

حلول المعادلة التربيعيّة هي

v = 1, v = - \frac{1}{4}

v = 1, v = - \frac{1}{4}

Substitute back

v = u^{2},

solve for

u

u^{2} = 1

حلّ:

u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

x = f (a), - f (a)

الحلول هي

x^{2} = f (a)

لـ

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

1 = 1

فعّل القانون

= 1

- 1 = - 1

- 1

1 = 1

فعّل القانون

= - 1

u = 1, u = - 1

u^{2} = - \frac{1}{4}

حلّ:

u = i \frac{1}{2}, u = - i \frac{1}{2}

u^{2} = - \frac{1}{4}

x = f (a), - f (a)

الحلول هي

x^{2} = f (a)

لـ

u = - \frac{1}{4}, u = - - \frac{1}{4}

- \frac{1}{4}

بسّط:

i \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

- a = - 1 a

:فعْل قانون الجذور

- \frac{1}{4} = - 1 \frac{1}{4}

= - 1 \frac{1}{4}

- 1 = i

:فعّل قانون الأعداد التخيليّة

= i \frac{1}{4}

a \geq 0, b \geq 0

بافتراض أنّ

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}

:فعّل قانون الجذور

\frac{1}{4} = \frac{1}{4}

= i \frac{1}{4}

4 = 2

4

4 = 2^{2} :

حلّل العدد لعوامله أوّليّة

= 2^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

2^{2} = 2

= 2

= i \frac{1}{2}

1 = 1

فعّل القانون

= i \frac{1}{2}

\frac{1}{2} i

بصورة مركّبة اعتياديّة

i \frac{1}{2}

أعد كتابة

i \frac{1}{2}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:اضرب كسور

= \frac{1 i}{2}

1 i = i :

اضرب

= \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} i

- - \frac{1}{4}

بسّط:

- i \frac{1}{2}

- - \frac{1}{4}

- \frac{1}{4}

بسّط:

i \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

- a = - 1 a

:فعْل قانون الجذور

- \frac{1}{4} = - 1 \frac{1}{4}

= - 1 \frac{1}{4}

- 1 = i

:فعّل قانون الأعداد التخيليّة

= i \frac{1}{4}

a \geq 0, b \geq 0

بافتراض أنّ

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}

:فعّل قانون الجذور

\frac{1}{4} = \frac{1}{4}

= i \frac{1}{4}

4 = 2

4

4 = 2^{2} :

حلّل العدد لعوامله أوّليّة

= 2^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

2^{2} = 2

= 2

= i \frac{1}{2}

= - i \frac{1}{2}

1 = 1

فعّل القانون

= - \frac{1}{2} i

u = i \frac{1}{2}, u = - i \frac{1}{2}

The solutions are

u = 1, u = - 1, u = i \frac{1}{2}, u = - i \frac{1}{2}

u = cos (θ)

استبدل مجددًا

cos (θ) = 1, cos (θ) = - 1, cos (θ) = i \frac{1}{2}, cos (θ) = - i \frac{1}{2}

cos (θ) = 1, cos (θ) = - 1, cos (θ) = i \frac{1}{2}, cos (θ) = - i \frac{1}{2}

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

cos (θ) = 1 :

حلول عامّة لـ

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

حلّ:

θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

cos (θ) = - 1 :

حلول عامّة لـ

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

cos (θ) = i \frac{1}{2} :

لا يوجد حلّ

cos (θ) = i \frac{1}{2}

لا يوجد حلّ

cos (θ) = - i \frac{1}{2} :

لا يوجد حلّ

cos (θ) = - i \frac{1}{2}

لا يوجد حلّ

وحّد الحلول

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

رسم

أمثلة شائعة

2tan(θ)sin(θ)-tan(θ)=0

2 tan (θ) sin (θ) - tan (θ) = 0

sin(4x+pi/4)=1

sin (4 x + \frac{π}{4}) = 1

cos^2(x)-cos(x)=0,(0,2pi)

cos^{2} (x) - cos (x) = 0, (0, 2 π)

csc(42)=sec(x)

csc (4 2^{\circ}) = sec (x)

solvefor x,0=cos(x)+1+sin(x)

so l v e f or x, 0 = cos (x) + 1 + sin (x)