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人気のある三角関数 >

5sin(θ)+12cos(θ)=13

解

5 sin (θ) + 12 cos (θ) = 13

解

θ = 0.39479 \dots + 2 πn

+1

度

θ = 22.61986 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

5 sin (θ) + 12 cos (θ) = 13

両辺から

12 cos (θ)

を引く

5 sin (θ) = 13 - 12 cos (θ)

両辺を2乗する

(5 sin (θ))^{2} = (13 - 12 cos (θ))^{2}

両辺から

(13 - 12 cos (θ))^{2}

を引く

25 sin^{2} (θ) - 169 + 312 cos (θ) - 144 cos^{2} (θ) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 169 - 144 cos^{2} (θ) + 25 sin^{2} (θ) + 312 cos (θ)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 169 - 144 cos^{2} (θ) + 25 (1 - cos^{2} (θ)) + 312 cos (θ)

簡素化

- 169 - 144 cos^{2} (θ) + 25 (1 - cos^{2} (θ)) + 312 cos (θ) : 312 cos (θ) - 169 cos^{2} (θ) - 144

- 169 - 144 cos^{2} (θ) + 25 (1 - cos^{2} (θ)) + 312 cos (θ)

拡張

25 (1 - cos^{2} (θ)) : 25 - 25 cos^{2} (θ)

25 (1 - cos^{2} (θ))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 25 \cdot 1 - 25 cos^{2} (θ)

数を乗じる:

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 cos^{2} (θ)

= - 169 - 144 cos^{2} (θ) + 25 - 25 cos^{2} (θ) + 312 cos (θ)

簡素化

- 169 - 144 cos^{2} (θ) + 25 - 25 cos^{2} (θ) + 312 cos (θ) : 312 cos (θ) - 169 cos^{2} (θ) - 144

- 169 - 144 cos^{2} (θ) + 25 - 25 cos^{2} (θ) + 312 cos (θ)

条件のようなグループ

= - 144 cos^{2} (θ) - 25 cos^{2} (θ) + 312 cos (θ) - 169 + 25

類似した元を足す:

- 144 cos^{2} (θ) - 25 cos^{2} (θ) = - 169 cos^{2} (θ)

= - 169 cos^{2} (θ) + 312 cos (θ) - 169 + 25

数を足す/引く:

- 169 + 25 = - 144

= 312 cos (θ) - 169 cos^{2} (θ) - 144

= 312 cos (θ) - 169 cos^{2} (θ) - 144

= 312 cos (θ) - 169 cos^{2} (θ) - 144

- 144 - 169 cos^{2} (θ) + 312 cos (θ) = 0

置換で解く

- 144 - 169 cos^{2} (θ) + 312 cos (θ) = 0

仮定:

cos (θ) = u

- 144 - 169 u^{2} + 312 u = 0

- 144 - 169 u^{2} + 312 u = 0 : u = \frac{12}{13}

- 144 - 169 u^{2} + 312 u = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 169 u^{2} + 312 u - 144 = 0

解くとthe二次式

- 169 u^{2} + 312 u - 144 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 169, b = 312, c = - 144

u_{1, 2} = \frac{- 312 \pm 31 2 ^{2} - 4 ( - 169 ) ( - 144 )}{2 ( - 169 )}

u_{1, 2} = \frac{- 312 \pm 31 2 ^{2} - 4 ( - 169 ) ( - 144 )}{2 ( - 169 )}

31 2^{2} - 4 (- 169) (- 144) = 0

31 2^{2} - 4 (- 169) (- 144)

規則を適用

- (- a) = a

= 31 2^{2} - 4 \cdot 169 \cdot 144

数を乗じる:

4 \cdot 169 \cdot 144 = 97344

= 31 2^{2} - 97344

31 2^{2} = 97344

= 97344 - 97344

数を引く:

97344 - 97344 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 312 \pm 0}{2 ( - 169 )}

u = \frac{- 312}{2 ( - 169 )}

\frac{- 312}{2 ( - 169 )} = \frac{12}{13}

\frac{- 312}{2 ( - 169 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 312}{- 2 \cdot 169}

数を乗じる:

2 \cdot 169 = 338

= \frac{- 312}{- 338}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{312}{338}

共通因数を約分する:

26

= \frac{12}{13}

u = \frac{12}{13}

二次equationの解:

u = \frac{12}{13}

代用を戻す

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{12}{13}

cos (θ) = \frac{12}{13}

cos (θ) = \frac{12}{13} : θ = arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{12}{13}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (θ) = \frac{12}{13}

以下の一般解

cos (θ) = \frac{12}{13}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

θ = arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

5 sin (θ) + 12 cos (θ) = 13

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1

5 sin (θ) + 12 cos (θ) = 13

の挿入向け

θ = arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1

5 sin (arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1) + 12 cos (arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1) = 13

改良

13 = 13

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1

5 sin (θ) + 12 cos (θ) = 13

の挿入向け

θ = 2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1

5 sin (2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1) + 12 cos (2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1) = 13

改良

9.15384 \dots = 13

\Rightarrow 偽

θ = arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

θ = 0.39479 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

2-2cos^2(x)+3cos(x)=0

2 - 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) = 0

cot(x)= 5/12 ,pi<x<(3pi)/2

cot (x) = \frac{5}{12}, π < x < \frac{3 π}{2}

tan(x)= 1/5 ,tan(x+pi/2)

tan (x) = \frac{1}{5}, tan (x + \frac{π}{2})

2 cos (5 x) = 0

sin (θ) = - \frac{5}{4}