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Beliebt Trigonometrie >

2cos(x)-tan(x)=0

Lösung

2 cos (x) - tan (x) = 0

Lösung

x = 0.89590 \dots + 2 πn, x = π - 0.89590 \dots + 2 πn

Grad

x = 51.33171 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 128.66828 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (x) - tan (x) = 0

Drücke mit sin, cos aus

2 cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Vereinfache

2 cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 cos ^{2} ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

2 cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 cos (x) = \frac{2 cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2 cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

2 cos (x) cos (x) - sin (x) = 2 cos^{2} (x) - sin (x)

2 cos (x) cos (x) - sin (x)

2 cos (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x)

2 cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 cos^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) - sin (x)

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 cos ^{2} ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 cos^{2} (x) - sin (x) = 0

Füge

sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

2 cos^{2} (x) = sin (x)

Quadriere beide Seiten

(2 cos^{2} (x))^{2} = sin^{2} (x)

Subtrahiere

sin^{2} (x)

von beiden Seiten

4 cos^{4} (x) - sin^{2} (x) = 0

Faktorisiere

4 cos^{4} (x) - sin^{2} (x) : (2 cos^{2} (x) + sin (x)) (2 cos^{2} (x) - sin (x))

4 cos^{4} (x) - sin^{2} (x)

Schreibe

4 cos^{4} (x) - sin^{2} (x)

um:

(2 cos^{2} (x))^{2} - sin^{2} (x)

4 cos^{4} (x) - sin^{2} (x)

Schreibe

4

um:

2^{2}

= 2^{2} cos^{4} (x) - sin^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cos^{4} (x) = (cos^{2} (x))^{2}

= 2^{2} (cos^{2} (x))^{2} - sin^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} (cos^{2} (x))^{2} = (2 cos^{2} (x))^{2}

= (2 cos^{2} (x))^{2} - sin^{2} (x)

= (2 cos^{2} (x))^{2} - sin^{2} (x)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 cos^{2} (x))^{2} - sin^{2} (x) = (2 cos^{2} (x) + sin (x)) (2 cos^{2} (x) - sin (x))

= (2 cos^{2} (x) + sin (x)) (2 cos^{2} (x) - sin (x))

(2 cos^{2} (x) + sin (x)) (2 cos^{2} (x) - sin (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

2 cos^{2} (x) + sin (x) = 0 or 2 cos^{2} (x) - sin (x) = 0

2 cos^{2} (x) + sin (x) = 0 : x = arcsin (- \frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn

2 cos^{2} (x) + sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) + 2 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x))

sin (x) + (1 - sin^{2} (x)) \cdot 2 = 0

Löse mit Substitution

sin (x) + (1 - sin^{2} (x)) \cdot 2 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

u + (1 - u^{2}) \cdot 2 = 0

u + (1 - u^{2}) \cdot 2 = 0 : u = - \frac{- 1 + 17}{4}, u = \frac{1 + 17}{4}

u + (1 - u^{2}) \cdot 2 = 0

Schreibe

u + (1 - u^{2}) \cdot 2

um:

u + 2 - 2 u^{2}

u + (1 - u^{2}) \cdot 2

= u + 2 (1 - u^{2})

Multipliziere aus

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= u + 2 - 2 u^{2}

u + 2 - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} + u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 2 = 17

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 2

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 2) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 1 + 16

Addiere die Zahlen:

1 + 16 = 17

= 17

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 17}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 17}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 17}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 1 + 17}{2 ( - 2 )} : - \frac{- 1 + 17}{4}

\frac{- 1 + 17}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 17}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 + 17}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 1 + 17}{4}

u = \frac{- 1 - 17}{2 ( - 2 )} : \frac{1 + 17}{4}

\frac{- 1 - 17}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 17}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 - 17}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 1 - 17 = - (1 + 17)

= \frac{1 + 17}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 1 + 17}{4}, u = \frac{1 + 17}{4}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{- 1 + 17}{4}, sin (x) = \frac{1 + 17}{4}

sin (x) = - \frac{- 1 + 17}{4}, sin (x) = \frac{1 + 17}{4}

sin (x) = - \frac{- 1 + 17}{4} : x = arcsin (- \frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{- 1 + 17}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{- 1 + 17}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{- 1 + 17}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{1 + 17}{4} :

Keine Lösung

sin (x) = \frac{1 + 17}{4}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn

2 cos^{2} (x) - sin (x) = 0 : x = arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn

2 cos^{2} (x) - sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- sin (x) + 2 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x))

- sin (x) + (1 - sin^{2} (x)) \cdot 2 = 0

Löse mit Substitution

- sin (x) + (1 - sin^{2} (x)) \cdot 2 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- u + (1 - u^{2}) \cdot 2 = 0

- u + (1 - u^{2}) \cdot 2 = 0 : u = - \frac{1 + 17}{4}, u = \frac{17 - 1}{4}

- u + (1 - u^{2}) \cdot 2 = 0

Schreibe

- u + (1 - u^{2}) \cdot 2

um:

- u + 2 - 2 u^{2}

- u + (1 - u^{2}) \cdot 2

= - u + 2 (1 - u^{2})

Multipliziere aus

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= - u + 2 - 2 u^{2}

- u + 2 - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} - u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2 = 17

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

4 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

= 1 + 16

Addiere die Zahlen:

1 + 16 = 17

= 17

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 17}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 17}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 17}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 17}{2 ( - 2 )} : - \frac{1 + 17}{4}

\frac{- ( - 1 ) + 17}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 17}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1 + 17}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1 + 17}{4}

u = \frac{- ( - 1 ) - 17}{2 ( - 2 )} : \frac{17 - 1}{4}

\frac{- ( - 1 ) - 17}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 17}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1 - 17}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

1 - 17 = - (17 - 1)

= \frac{17 - 1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1 + 17}{4}, u = \frac{17 - 1}{4}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{1 + 17}{4}, sin (x) = \frac{17 - 1}{4}

sin (x) = - \frac{1 + 17}{4}, sin (x) = \frac{17 - 1}{4}

sin (x) = - \frac{1 + 17}{4} :

Keine Lösung

sin (x) = - \frac{1 + 17}{4}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = \frac{17 - 1}{4} : x = arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{17 - 1}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{17 - 1}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{17 - 1}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 cos (x) - tan (x) = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (- \frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{- 1 + 17}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{- 1 + 17}{4}) + 2 π 1

2 cos (x) - tan (x) = 0

ein, um zu lösen

2 cos (arcsin (- \frac{- 1 + 17}{4}) + 2 π 1) - tan (arcsin (- \frac{- 1 + 17}{4}) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

2.49924 \dots = 0

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 π 1

2 cos (x) - tan (x) = 0

ein, um zu lösen

2 cos (π + arcsin (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 π 1) - tan (π + arcsin (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

- 2.49924 \dots = 0

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 π 1

2 cos (x) - tan (x) = 0

ein, um zu lösen

2 cos (arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 π 1) - tan (arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn :

Wahr

π - arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 π 1

2 cos (x) - tan (x) = 0

ein, um zu lösen

2 cos (π - arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 π 1) - tan (π - arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

x = arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.89590 \dots + 2 πn, x = π - 0.89590 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(θ/2)=0.4

sin (\frac{θ}{2}) = 0.4

arccos(x)=(79)/(9sqrt(70))

arccos (x) = \frac{79}{9 70}

sin(2x)sin(x)-cos(2x)cos(x)=(sqrt(2))/2

sin (2 x) sin (x) - cos (2 x) cos (x) = \frac{2}{2}

50sec^2(5x)tan(5x)=25+tan^2(5x)

50 sec^{2} (5 x) tan (5 x) = 25 + tan^{2} (5 x)

cot(x)=8

cot (x) = 8