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受欢迎的三角函数 >

2-3sin(θ)=cos(θ)

解答

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

解答

θ = π - 1.00646 \dots + 2 πn, θ = 0.36296 \dots + 2 πn

+1

度数

θ = 122.33353 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 20.79657 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

两边进行平方

(2 - 3 sin (θ))^{2} = cos^{2} (θ)

两边减去

cos^{2} (θ)

(2 - 3 sin (θ))^{2} - cos^{2} (θ) = 0

使用三角恒等式改写

(2 - 3 sin (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (2 - 3 sin (θ))^{2} - (1 - sin^{2} (θ))

化简

(2 - 3 sin (θ))^{2} - (1 - sin^{2} (θ)) : 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

(2 - 3 sin (θ))^{2} - (1 - sin^{2} (θ))

(2 - 3 sin (θ))^{2} : 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

使用完全平方公式:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 2, b = 3 sin (θ)

= 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) + (3 sin (θ))^{2}

化简

2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) + (3 sin (θ))^{2} : 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) + (3 sin (θ))^{2}

2^{2} = 4

2^{2}

2^{2} = 4

= 4

2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) = 12 sin (θ)

2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ)

数字相乘:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12 sin (θ)

(3 sin (θ))^{2} = 9 sin^{2} (θ)

(3 sin (θ))^{2}

使用指数法则:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 3^{2} sin^{2} (θ)

3^{2} = 9

= 9 sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - (1 - sin^{2} (θ))

- (1 - sin^{2} (θ)) : - 1 + sin^{2} (θ)

- (1 - sin^{2} (θ))

打开括号

= - (1) - (- sin^{2} (θ))

使用加减运算法则

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

化简

4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ) : 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

对同类项分组

= - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) + 4 - 1

同类项相加:

9 sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 10 sin^{2} (θ)

= - 12 sin (θ) + 10 sin^{2} (θ) + 4 - 1

数字相加/相减:

4 - 1 = 3

= 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

= 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

= 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

3 + 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) = 0

用替代法求解

3 + 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) = 0

令

: sin (θ) = u

3 + 10 u^{2} - 12 u = 0

3 + 10 u^{2} - 12 u = 0 : u = \frac{6 + 6}{10}, u = \frac{6 - 6}{10}

3 + 10 u^{2} - 12 u = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} - 12 u + 3 = 0

使用求根公式求解

10 u^{2} - 12 u + 3 = 0

二次方程求根公式:

若

a = 10, b = - 12, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3}{2 \cdot 10}

(- 12)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3 = 26

(- 12)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3

使用指数法则:

(- a)^{n} = a^{n},

若

n

是偶数

(- 12)^{2} = 1 2^{2}

= 1 2^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3

数字相乘:

4 \cdot 10 \cdot 3 = 120

= 1 2^{2} - 120

1 2^{2} = 144

= 144 - 120

数字相减:

144 - 120 = 24

= 24

24

质因数分解:

2^{3} \cdot 3

24

24

除以

224 = 12 \cdot 2

= 2 \cdot 12

12

除以

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

除以

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 3

使用根式运算法则:

n ab = n a n b

= 2^{2} 2 \cdot 3

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 3

整理后得

= 26

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm 2 6}{2 \cdot 10}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- ( - 12 ) + 2 6}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- ( - 12 ) - 2 6}{2 \cdot 10}

u = \frac{- ( - 12 ) + 2 6}{2 \cdot 10} : \frac{6 + 6}{10}

\frac{- ( - 12 ) + 2 6}{2 \cdot 10}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{12 + 2 6}{2 \cdot 10}

数字相乘:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{12 + 2 6}{20}

分解

12 + 26 : 2 (6 + 6)

12 + 26

改写为

= 2 \cdot 6 + 26

因式分解出通项

2

= 2 (6 + 6)

= \frac{2 ( 6 + 6 )}{20}

约分:

2

= \frac{6 + 6}{10}

u = \frac{- ( - 12 ) - 2 6}{2 \cdot 10} : \frac{6 - 6}{10}

\frac{- ( - 12 ) - 2 6}{2 \cdot 10}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{12 - 2 6}{2 \cdot 10}

数字相乘:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{12 - 2 6}{20}

分解

12 - 26 : 2 (6 - 6)

12 - 26

改写为

= 2 \cdot 6 - 26

因式分解出通项

2

= 2 (6 - 6)

= \frac{2 ( 6 - 6 )}{20}

约分:

2

= \frac{6 - 6}{10}

二次方程组的解是:

u = \frac{6 + 6}{10}, u = \frac{6 - 6}{10}

u = sin (θ)

代回

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}, sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}, sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10} : θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

使用反三角函数性质

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

的通解

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10} : θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

使用反三角函数性质

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

的通解

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

合并所有解

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

将解代入原方程进行验证

将它们代入

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

检验解是否符合

去除与方程不符的解。

检验

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

的解:

假

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

代入

n = 1

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

对于

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

代入

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1) = cos (arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1)

整理后得

- 0.53484 \dots = 0.53484 \dots

\Rightarrow 假

检验

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

的解:

真

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

代入

n = 1

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

对于

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

代入

θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1) = cos (π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1)

整理后得

- 0.53484 \dots = - 0.53484 \dots

\Rightarrow 真

检验

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

的解:

真

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

代入

n = 1

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

对于

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

代入

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1) = cos (arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1)

整理后得

0.93484 \dots = 0.93484 \dots

\Rightarrow 真

检验

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

的解:

假

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

代入

n = 1

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

对于

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

代入

θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1) = cos (π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1)

整理后得

0.93484 \dots = - 0.93484 \dots

\Rightarrow 假

θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

以小数形式表示解

θ = π - 1.00646 \dots + 2 πn, θ = 0.36296 \dots + 2 πn

作图

流行的例子

5 sin (3 x) = 4

sec(θ)= 1/(cos(67.38))

sec (θ) = \frac{1}{cos ( 67.3 8 ^{\circ} )}

cos (x) = \frac{15}{19}

(sec(x)+1)^2-tan(x)=0

(sec (x) + 1)^{2} - tan (x) = 0

cos (A) = \frac{8}{17}