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Beliebt Trigonometrie >

2-3sin(θ)=cos(θ)

Lösung

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

Lösung

θ = π - 1.00646 \dots + 2 πn, θ = 0.36296 \dots + 2 πn

Grad

θ = 122.33353 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 20.79657 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

Quadriere beide Seiten

(2 - 3 sin (θ))^{2} = cos^{2} (θ)

Subtrahiere

cos^{2} (θ)

von beiden Seiten

(2 - 3 sin (θ))^{2} - cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(2 - 3 sin (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (2 - 3 sin (θ))^{2} - (1 - sin^{2} (θ))

Vereinfache

(2 - 3 sin (θ))^{2} - (1 - sin^{2} (θ)) : 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

(2 - 3 sin (θ))^{2} - (1 - sin^{2} (θ))

(2 - 3 sin (θ))^{2} : 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 2, b = 3 sin (θ)

= 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) + (3 sin (θ))^{2}

Vereinfache

2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) + (3 sin (θ))^{2} : 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) + (3 sin (θ))^{2}

2^{2} = 4

2^{2}

2^{2} = 4

= 4

2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) = 12 sin (θ)

2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12 sin (θ)

(3 sin (θ))^{2} = 9 sin^{2} (θ)

(3 sin (θ))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 3^{2} sin^{2} (θ)

3^{2} = 9

= 9 sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - (1 - sin^{2} (θ))

- (1 - sin^{2} (θ)) : - 1 + sin^{2} (θ)

- (1 - sin^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- sin^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

Vereinfache

4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ) : 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) + 4 - 1

Addiere gleiche Elemente:

9 sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 10 sin^{2} (θ)

= - 12 sin (θ) + 10 sin^{2} (θ) + 4 - 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

4 - 1 = 3

= 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

= 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

= 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

3 + 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) = 0

Löse mit Substitution

3 + 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

3 + 10 u^{2} - 12 u = 0

3 + 10 u^{2} - 12 u = 0 : u = \frac{6 + 6}{10}, u = \frac{6 - 6}{10}

3 + 10 u^{2} - 12 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} - 12 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

10 u^{2} - 12 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 10, b = - 12, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3}{2 \cdot 10}

(- 12)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3 = 26

(- 12)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 12)^{2} = 1 2^{2}

= 1 2^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 10 \cdot 3 = 120

= 1 2^{2} - 120

1 2^{2} = 144

= 144 - 120

Subtrahiere die Zahlen:

144 - 120 = 24

= 24

Primfaktorzerlegung von

24 : 2^{3} \cdot 3

24

24

ist durch

224 = 12 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 3

Fasse zusammen

= 26

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm 2 6}{2 \cdot 10}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 12 ) + 2 6}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- ( - 12 ) - 2 6}{2 \cdot 10}

u = \frac{- ( - 12 ) + 2 6}{2 \cdot 10} : \frac{6 + 6}{10}

\frac{- ( - 12 ) + 2 6}{2 \cdot 10}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{12 + 2 6}{2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{12 + 2 6}{20}

Faktorisiere

12 + 26 : 2 (6 + 6)

12 + 26

Schreibe um

= 2 \cdot 6 + 26

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (6 + 6)

= \frac{2 ( 6 + 6 )}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{6 + 6}{10}

u = \frac{- ( - 12 ) - 2 6}{2 \cdot 10} : \frac{6 - 6}{10}

\frac{- ( - 12 ) - 2 6}{2 \cdot 10}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{12 - 2 6}{2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{12 - 2 6}{20}

Faktorisiere

12 - 26 : 2 (6 - 6)

12 - 26

Schreibe um

= 2 \cdot 6 - 26

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (6 - 6)

= \frac{2 ( 6 - 6 )}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{6 - 6}{10}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{6 + 6}{10}, u = \frac{6 - 6}{10}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}, sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}, sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10} : θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10} : θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

Setze

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

ein, um zu lösen

2 - 3 sin (arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1) = cos (arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 0.53484 \dots = 0.53484 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn :

Wahr

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

Setze

θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

ein, um zu lösen

2 - 3 sin (π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1) = cos (π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 0.53484 \dots = - 0.53484 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

Setze

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

ein, um zu lösen

2 - 3 sin (arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1) = cos (arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

0.93484 \dots = 0.93484 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

Setze

θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

ein, um zu lösen

2 - 3 sin (π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1) = cos (π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

0.93484 \dots = - 0.93484 \dots

\Rightarrow Falsch

θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = π - 1.00646 \dots + 2 πn, θ = 0.36296 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

5sin(3x)=4

5 sin (3 x) = 4

sec(θ)= 1/(cos(67.38))

sec (θ) = \frac{1}{cos ( 67.3 8 ^{\circ} )}

cos(x)= 15/19

cos (x) = \frac{15}{19}

(sec(x)+1)^2-tan(x)=0

(sec (x) + 1)^{2} - tan (x) = 0

cos(A)= 8/17

cos (A) = \frac{8}{17}