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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)+2sin(x)=-1

Lösung

cos (x) + 2 sin (x) = - 1

Lösung

x = - 0.92729 \dots + 2 πn, x = π + 2 πn

Grad

x = - 53.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (x) + 2 sin (x) = - 1

Subtrahiere

2 sin (x)

von beiden Seiten

cos (x) = - 1 - 2 sin (x)

Quadriere beide Seiten

cos^{2} (x) = (- 1 - 2 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(- 1 - 2 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

cos^{2} (x) - 1 - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos^{2} (x) - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x) - sin^{2} (x)

Vereinfache

= - 4 sin (x) - 5 sin^{2} (x)

- 4 sin (x) - 5 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 4 sin (x) - 5 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 4 u - 5 u^{2} = 0

- 4 u - 5 u^{2} = 0 : u = - \frac{4}{5}, u = 0

- 4 u - 5 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} - 4 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 5 u^{2} - 4 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 5, b = - 4, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 0}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 0}{2 ( - 5 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 5) \cdot 0 = 4

(- 4)^{2} - 4 (- 5) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 0

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 4^{2} + 0

4^{2} + 0 = 4^{2}

= 4^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 4}{2 ( - 5 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 4}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 4}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- ( - 4 ) + 4}{2 ( - 5 )} : - \frac{4}{5}

\frac{- ( - 4 ) + 4}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 4}{- 2 \cdot 5}

Addiere die Zahlen:

4 + 4 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{8}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{4}{5}

u = \frac{- ( - 4 ) - 4}{2 ( - 5 )} : 0

\frac{- ( - 4 ) - 4}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 4}{- 2 \cdot 5}

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 4 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{0}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{10}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{4}{5}, u = 0

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{4}{5}, sin (x) = 0

sin (x) = - \frac{4}{5}, sin (x) = 0

sin (x) = - \frac{4}{5} : x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{4}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{4}{5}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

cos (x) + 2 sin (x) = - 1

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

cos (x) + 2 sin (x) = - 1

ein, um zu lösen

cos (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) + 2 sin (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) = - 1

Fasse zusammen

- 1 = - 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

cos (x) + 2 sin (x) = - 1

ein, um zu lösen

cos (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) + 2 sin (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = - 1

Fasse zusammen

- 2.2 = - 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Falsch

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

x = 2 π 1

cos (x) + 2 sin (x) = - 1

ein, um zu lösen

cos (2 π 1) + 2 sin (2 π 1) = - 1

Fasse zusammen

1 = - 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Wahr

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

x = π + 2 π 1

cos (x) + 2 sin (x) = - 1

ein, um zu lösen

cos (π + 2 π 1) + 2 sin (π + 2 π 1) = - 1

Fasse zusammen

- 1 = - 1

\Rightarrow Wahr

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 0.92729 \dots + 2 πn, x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

csc(x)=-7

csc (x) = - 7

cos(4t)+sin(4t)=0

cos (4 t) + sin (4 t) = 0

cos(x-30)=0.22

cos (x - 3 0^{\circ}) = 0.22

sin(4x-22)=cos(6x-13)

sin (4 x - 22) = cos (6 x - 13)

csc(x)=-3/(sqrt(5))

csc (x) = - \frac{3}{5}