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Beliebt Trigonometrie >

sqrt(5)cos(x)-2sin(x)=0.5

Lösung

5 cos (x) - 2 sin (x) = 0.5

Lösung

x = π + 1.00851 \dots + 2 πn, x = 0.67362 \dots + 2 πn

Grad

x = 237.78375 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 38.59561 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 cos (x) - 2 sin (x) = 0.5

Füge

2 sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

5 cos (x) = 0.5 + 2 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(5 cos (x))^{2} = (0.5 + 2 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(0.5 + 2 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

5 cos^{2} (x) - 0.25 - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 0.25 - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 5 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 0.25 - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 5 (1 - sin^{2} (x))

Vereinfache

- 0.25 - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 5 (1 - sin^{2} (x)) : - 9 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4.75

- 0.25 - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 5 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

5 (1 - sin^{2} (x)) : 5 - 5 sin^{2} (x)

5 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 5 \cdot 1 - 5 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= 5 - 5 sin^{2} (x)

= - 0.25 - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 5 - 5 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 0.25 - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 5 - 5 sin^{2} (x) : - 9 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4.75

- 0.25 - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 5 - 5 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) - 5 sin^{2} (x) - 0.25 + 5

Addiere gleiche Elemente:

- 4 sin^{2} (x) - 5 sin^{2} (x) = - 9 sin^{2} (x)

= - 2 sin (x) - 9 sin^{2} (x) - 0.25 + 5

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 0.25 + 5 = 4.75

= - 9 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4.75

= - 9 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4.75

= - 9 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4.75

4.75 - 2 sin (x) - 9 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

4.75 - 2 sin (x) - 9 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

4.75 - 2 u - 9 u^{2} = 0

4.75 - 2 u - 9 u^{2} = 0 : u = - \frac{2 + 5 7}{18}, u = \frac{5 7 - 2}{18}

4.75 - 2 u - 9 u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

100

4.75 - 2 u - 9 u^{2} = 0

To eliminate decimal points, multiply by 10 for every digit after the decimal pointThere are

2

digits to the right of the decimal point, therefore multiply by

100

4.75 \cdot 100 - 2 u \cdot 100 - 9 u^{2} \cdot 100 = 0 \cdot 100

Fasse zusammen

475 - 200 u - 900 u^{2} = 0

475 - 200 u - 900 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 900 u^{2} - 200 u + 475 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 900 u^{2} - 200 u + 475 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 900, b = - 200, c = 475

u_{1, 2} = \frac{- ( - 200 ) \pm ( - 200 ) ^{2} - 4 ( - 900 ) \cdot 475}{2 ( - 900 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 200 ) \pm ( - 200 ) ^{2} - 4 ( - 900 ) \cdot 475}{2 ( - 900 )}

(- 200)^{2} - 4 (- 900) \cdot 475 = 5007

(- 200)^{2} - 4 (- 900) \cdot 475

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 200)^{2} + 4 \cdot 900 \cdot 475

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 200)^{2} = 20 0^{2}

= 20 0^{2} + 4 \cdot 900 \cdot 475

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 900 \cdot 475 = 1710000

= 20 0^{2} + 1710000

20 0^{2} = 40000

= 40000 + 1710000

Addiere die Zahlen:

40000 + 1710000 = 1750000

= 1750000

Primfaktorzerlegung von

1750000 : 2^{4} \cdot 5^{6} \cdot 7

1750000

= 5^{6} \cdot 2^{4} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 7 2^{4} 5^{6}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 7 5^{6}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

5^{6} = 5^{\frac{6}{2}} = 5^{3}

= 5^{3} \cdot 2^{2} 7

Fasse zusammen

= 5007

u_{1, 2} = \frac{- ( - 200 ) \pm 500 7}{2 ( - 900 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 200 ) + 500 7}{2 ( - 900 )}, u_{2} = \frac{- ( - 200 ) - 500 7}{2 ( - 900 )}

u = \frac{- ( - 200 ) + 500 7}{2 ( - 900 )} : - \frac{2 + 5 7}{18}

\frac{- ( - 200 ) + 500 7}{2 ( - 900 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{200 + 500 7}{- 2 \cdot 900}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 900 = 1800

= \frac{200 + 500 7}{- 1800}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{200 + 500 7}{1800}

Streiche

\frac{200 + 500 7}{1800} : \frac{2 + 5 7}{18}

\frac{200 + 500 7}{1800}

Faktorisiere

200 + 5007 : 100 (2 + 57)

200 + 5007

Schreibe um

= 100 \cdot 2 + 100 \cdot 57

Klammere gleiche Terme aus

100

= 100 (2 + 57)

= \frac{100 ( 2 + 5 7 )}{1800}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

100

= \frac{2 + 5 7}{18}

= - \frac{2 + 5 7}{18}

u = \frac{- ( - 200 ) - 500 7}{2 ( - 900 )} : \frac{5 7 - 2}{18}

\frac{- ( - 200 ) - 500 7}{2 ( - 900 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{200 - 500 7}{- 2 \cdot 900}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 900 = 1800

= \frac{200 - 500 7}{- 1800}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

200 - 5007 = - (5007 - 200)

= \frac{500 7 - 200}{1800}

Faktorisiere

5007 - 200 : 100 (57 - 2)

5007 - 200

Schreibe um

= 100 \cdot 57 - 100 \cdot 2

Klammere gleiche Terme aus

100

= 100 (57 - 2)

= \frac{100 ( 5 7 - 2 )}{1800}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

100

= \frac{5 7 - 2}{18}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{2 + 5 7}{18}, u = \frac{5 7 - 2}{18}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{2 + 5 7}{18}, sin (x) = \frac{5 7 - 2}{18}

sin (x) = - \frac{2 + 5 7}{18}, sin (x) = \frac{5 7 - 2}{18}

sin (x) = - \frac{2 + 5 7}{18} : x = arcsin (- \frac{2 + 5 7}{18}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 5 7}{18}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{2 + 5 7}{18}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{2 + 5 7}{18}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{2 + 5 7}{18}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{2 + 5 7}{18}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 5 7}{18}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{2 + 5 7}{18}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 5 7}{18}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 7 - 2}{18} : x = arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 7 - 2}{18}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{5 7 - 2}{18}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{5 7 - 2}{18}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{2 + 5 7}{18}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 5 7}{18}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

5 cos (x) - 2 sin (x) = 0.5

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{2 + 5 7}{18}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (- \frac{2 + 5 7}{18}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{2 + 5 7}{18}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{2 + 5 7}{18}) + 2 π 1

5 cos (x) - 2 sin (x) = 0.5

ein, um zu lösen

5 cos (arcsin (- \frac{2 + 5 7}{18}) + 2 π 1) - 2 sin (arcsin (- \frac{2 + 5 7}{18}) + 2 π 1) = 0.5

Fasse zusammen

2.88416 \dots = 0.5

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{2 + 5 7}{18}) + 2 πn :

Wahr

π + arcsin (\frac{2 + 5 7}{18}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{2 + 5 7}{18}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{2 + 5 7}{18}) + 2 π 1

5 cos (x) - 2 sin (x) = 0.5

ein, um zu lösen

5 cos (π + arcsin (\frac{2 + 5 7}{18}) + 2 π 1) - 2 sin (π + arcsin (\frac{2 + 5 7}{18}) + 2 π 1) = 0.5

Fasse zusammen

0.5 = 0.5

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 π 1

5 cos (x) - 2 sin (x) = 0.5

ein, um zu lösen

5 cos (arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 π 1) - 2 sin (arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 π 1) = 0.5

Fasse zusammen

0.5 = 0.5

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 π 1

5 cos (x) - 2 sin (x) = 0.5

ein, um zu lösen

5 cos (π - arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 π 1) - 2 sin (π - arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 π 1) = 0.5

Fasse zusammen

- 2.99527 \dots = 0.5

\Rightarrow Falsch

x = π + arcsin (\frac{2 + 5 7}{18}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{5 7 - 2}{18}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = π + 1.00851 \dots + 2 πn, x = 0.67362 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)= 6/15

sin (x) = \frac{6}{15}

cot(θ)=1.4

cot (θ) = 1.4

75/125 =(cosh(0.2x))/(cosh(0.4x))

\frac{75}{125} = \frac{cosh ( 0.2 x )}{cosh ( 0.4 x )}

3cos(x)+6=cos(x)+5

3 cos (x) + 6 = cos (x) + 5

cos(x)= 1/3 ,(3pi)/2 <x<2pi

cos (x) = \frac{1}{3}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π