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Beliebt Trigonometrie >

5sec^3(x)-20sec(x)=0

Lösung

5 sec^{3} (x) - 20 sec (x) = 0

Lösung

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 sec^{3} (x) - 20 sec (x) = 0

Löse mit Substitution

5 sec^{3} (x) - 20 sec (x) = 0

Angenommen:

sec (x) = u

5 u^{3} - 20 u = 0

5 u^{3} - 20 u = 0 : u = 0, u = - 2, u = 2

5 u^{3} - 20 u = 0

Faktorisiere

5 u^{3} - 20 u : 5 u (u + 2) (u - 2)

5 u^{3} - 20 u

Klammere gleiche Terme aus

5 u : 5 u (u^{2} - 4)

5 u^{3} - 20 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= 5 u^{2} u - 20 u

Schreibe

20

um:

5 \cdot 4

= 5 u^{2} u - 5 \cdot 4 u

Klammere gleiche Terme aus

5 u

= 5 u (u^{2} - 4)

= 5 u (u^{2} - 4)

Faktorisiere

u^{2} - 4 : (u + 2) (u - 2)

u^{2} - 4

Schreibe

4

um:

2^{2}

= u^{2} - 2^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 2^{2} = (u + 2) (u - 2)

= (u + 2) (u - 2)

= 5 u (u + 2) (u - 2)

5 u (u + 2) (u - 2) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or u + 2 = 0 or u - 2 = 0

Löse

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u + 2 = 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

u + 2 - 2 = 0 - 2

Vereinfache

u = - 2

u = - 2

Löse

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

u = 2

u = 2

Die Lösungen sind

u = 0, u = - 2, u = 2

Setze in

u = sec (x)

ein

sec (x) = 0, sec (x) = - 2, sec (x) = 2

sec (x) = 0, sec (x) = - 2, sec (x) = 2

sec (x) = 0 :

Keine Lösung

sec (x) = 0

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sec (x) = - 2 : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

sec (x) = - 2

Allgemeine Lösung für

sec (x) = - 2

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

sec (x) = 2 : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (x) = 2

Allgemeine Lösung für

sec (x) = 2

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

solvefor 3cot^2(x)-1=0,x

so l v e f or 3 cot^{2} (x) - 1 = 0, x

cos(2x)-9cos(x)+5=0

cos (2 x) - 9 cos (x) + 5 = 0

cos^2(t)= 1/2

cos^{2} (t) = \frac{1}{2}

2cos^2(θ)-1=sin(θ),0<= θ<= 180

2 cos^{2} (θ) - 1 = sin (θ), 0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}

cos^4(x)-sin^4(x)= 1/2

cos^{4} (x) - sin^{4} (x) = \frac{1}{2}