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人気のある三角関数 >

15sin(x)+6cos(x)-3=0

解

15 sin (x) + 6 cos (x) - 3 = 0

解

x = π - 0.56728 \dots + 2 πn, x = - 0.19372 \dots + 2 πn

+1

度

x = 147.49691 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 11.09973 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

15 sin (x) + 6 cos (x) - 3 = 0

両辺から

6 cos (x)

を引く

15 sin (x) - 3 = - 6 cos (x)

両辺を2乗する

(15 sin (x) - 3)^{2} = (- 6 cos (x))^{2}

両辺から

(- 6 cos (x))^{2}

を引く

(15 sin (x) - 3)^{2} - 36 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

(- 3 + 15 sin (x))^{2} - 36 cos^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (- 3 + 15 sin (x))^{2} - 36 (1 - sin^{2} (x))

簡素化

(- 3 + 15 sin (x))^{2} - 36 (1 - sin^{2} (x)) : 261 sin^{2} (x) - 90 sin (x) - 27

(- 3 + 15 sin (x))^{2} - 36 (1 - sin^{2} (x))

(- 3 + 15 sin (x))^{2} : 9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x)

完全平方式を適用する:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 3, b = 15 sin (x)

= (- 3)^{2} + 2 (- 3) \cdot 15 sin (x) + (15 sin (x))^{2}

簡素化

(- 3)^{2} + 2 (- 3) \cdot 15 sin (x) + (15 sin (x))^{2} : 9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x)

(- 3)^{2} + 2 (- 3) \cdot 15 sin (x) + (15 sin (x))^{2}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= (- 3)^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 15 sin (x) + (15 sin (x))^{2}

(- 3)^{2} = 9

(- 3)^{2}

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2}

3^{2} = 9

= 9

2 \cdot 3 \cdot 15 sin (x) = 90 sin (x)

2 \cdot 3 \cdot 15 sin (x)

数を乗じる:

2 \cdot 3 \cdot 15 = 90

= 90 sin (x)

(15 sin (x))^{2} = 225 sin^{2} (x)

(15 sin (x))^{2}

指数の規則を適用する:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 1 5^{2} sin^{2} (x)

1 5^{2} = 225

= 225 sin^{2} (x)

= 9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x)

= 9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x)

= 9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x) - 36 (1 - sin^{2} (x))

拡張

- 36 (1 - sin^{2} (x)) : - 36 + 36 sin^{2} (x)

- 36 (1 - sin^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = - 36, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 36 \cdot 1 - (- 36) sin^{2} (x)

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a

= - 36 \cdot 1 + 36 sin^{2} (x)

数を乗じる:

36 \cdot 1 = 36

= - 36 + 36 sin^{2} (x)

= 9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x) - 36 + 36 sin^{2} (x)

簡素化

9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x) - 36 + 36 sin^{2} (x) : 261 sin^{2} (x) - 90 sin (x) - 27

9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x) - 36 + 36 sin^{2} (x)

条件のようなグループ

= - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x) + 36 sin^{2} (x) + 9 - 36

類似した元を足す:

225 sin^{2} (x) + 36 sin^{2} (x) = 261 sin^{2} (x)

= - 90 sin (x) + 261 sin^{2} (x) + 9 - 36

数を足す/引く:

9 - 36 = - 27

= 261 sin^{2} (x) - 90 sin (x) - 27

= 261 sin^{2} (x) - 90 sin (x) - 27

= 261 sin^{2} (x) - 90 sin (x) - 27

- 27 + 261 sin^{2} (x) - 90 sin (x) = 0

置換で解く

- 27 + 261 sin^{2} (x) - 90 sin (x) = 0

仮定:

sin (x) = u

- 27 + 261 u^{2} - 90 u = 0

- 27 + 261 u^{2} - 90 u = 0 : u = \frac{5 + 4 7}{29}, u = \frac{5 - 4 7}{29}

- 27 + 261 u^{2} - 90 u = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

261 u^{2} - 90 u - 27 = 0

解くとthe二次式

261 u^{2} - 90 u - 27 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 261, b = - 90, c = - 27

u_{1, 2} = \frac{- ( - 90 ) \pm ( - 90 ) ^{2} - 4 \cdot 261 ( - 27 )}{2 \cdot 261}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 90 ) \pm ( - 90 ) ^{2} - 4 \cdot 261 ( - 27 )}{2 \cdot 261}

(- 90)^{2} - 4 \cdot 261 (- 27) = 727

(- 90)^{2} - 4 \cdot 261 (- 27)

規則を適用

- (- a) = a

= (- 90)^{2} + 4 \cdot 261 \cdot 27

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 90)^{2} = 9 0^{2}

= 9 0^{2} + 4 \cdot 261 \cdot 27

数を乗じる:

4 \cdot 261 \cdot 27 = 28188

= 9 0^{2} + 28188

9 0^{2} = 8100

= 8100 + 28188

数を足す:

8100 + 28188 = 36288

= 36288

以下の素因数分解:

36288 : 2^{6} \cdot 3^{4} \cdot 7

36288

36288236288 = 18144 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 18144

18144218144 = 9072 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 9072

907229072 = 4536 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4536

453624536 = 2268 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2268

226822268 = 1134 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1134

113421134 = 567 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 567

5673567 = 189 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 189

1893189 = 63 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 63

63363 = 21 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 21

21321 = 7 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{6} \cdot 3^{4} \cdot 7

= 2^{6} \cdot 3^{4} \cdot 7

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 7 2^{6} 3^{4}

累乗根の規則を適用する:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 7 3^{4}

累乗根の規則を適用する:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 2^{3} \cdot 3^{2} 7

改良

= 727

u_{1, 2} = \frac{- ( - 90 ) \pm 72 7}{2 \cdot 261}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 90 ) + 72 7}{2 \cdot 261}, u_{2} = \frac{- ( - 90 ) - 72 7}{2 \cdot 261}

u = \frac{- ( - 90 ) + 72 7}{2 \cdot 261} : \frac{5 + 4 7}{29}

\frac{- ( - 90 ) + 72 7}{2 \cdot 261}

規則を適用

- (- a) = a

= \frac{90 + 72 7}{2 \cdot 261}

数を乗じる:

2 \cdot 261 = 522

= \frac{90 + 72 7}{522}

因数

90 + 727 : 18 (5 + 47)

90 + 727

書き換え

= 18 \cdot 5 + 18 \cdot 47

共通項をくくり出す

18

= 18 (5 + 47)

= \frac{18 ( 5 + 4 7 )}{522}

共通因数を約分する:

18

= \frac{5 + 4 7}{29}

u = \frac{- ( - 90 ) - 72 7}{2 \cdot 261} : \frac{5 - 4 7}{29}

\frac{- ( - 90 ) - 72 7}{2 \cdot 261}

規則を適用

- (- a) = a

= \frac{90 - 72 7}{2 \cdot 261}

数を乗じる:

2 \cdot 261 = 522

= \frac{90 - 72 7}{522}

因数

90 - 727 : 18 (5 - 47)

90 - 727

書き換え

= 18 \cdot 5 - 18 \cdot 47

共通項をくくり出す

18

= 18 (5 - 47)

= \frac{18 ( 5 - 4 7 )}{522}

共通因数を約分する:

18

= \frac{5 - 4 7}{29}

二次equationの解:

u = \frac{5 + 4 7}{29}, u = \frac{5 - 4 7}{29}

代用を戻す

u = sin (x)

sin (x) = \frac{5 + 4 7}{29}, sin (x) = \frac{5 - 4 7}{29}

sin (x) = \frac{5 + 4 7}{29}, sin (x) = \frac{5 - 4 7}{29}

sin (x) = \frac{5 + 4 7}{29} : x = arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 + 4 7}{29}

三角関数の逆数プロパティを適用する

sin (x) = \frac{5 + 4 7}{29}

以下の一般解

sin (x) = \frac{5 + 4 7}{29}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 - 4 7}{29} : x = arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 - 4 7}{29}

三角関数の逆数プロパティを適用する

sin (x) = \frac{5 - 4 7}{29}

以下の一般解

sin (x) = \frac{5 - 4 7}{29}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

15 sin (x) + 6 cos (x) - 3 = 0

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn :

偽

arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn

挿入

n = 1

arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1

15 sin (x) + 6 cos (x) - 3 = 0

の挿入向け

x = arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1

15 sin (arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1) + 6 cos (arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1) - 3 = 0

改良

10.12035 \dots = 0

\Rightarrow 偽

解答を確認する

π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn :

真

π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn

挿入

n = 1

π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1

15 sin (x) + 6 cos (x) - 3 = 0

の挿入向け

x = π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1

15 sin (π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1) + 6 cos (π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1) - 3 = 0

改良

0 = 0

\Rightarrow 真

解答を確認する

arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn :

真

arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn

挿入

n = 1

arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1

15 sin (x) + 6 cos (x) - 3 = 0

の挿入向け

x = arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1

15 sin (arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1) + 6 cos (arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1) - 3 = 0

改良

0 = 0

\Rightarrow 真

解答を確認する

π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn :

偽

π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn

挿入

n = 1

π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1

15 sin (x) + 6 cos (x) - 3 = 0

の挿入向け

x = π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1

15 sin (π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1) + 6 cos (π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1) - 3 = 0

改良

- 11.77552 \dots = 0

\Rightarrow 偽

x = π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = π - 0.56728 \dots + 2 πn, x = - 0.19372 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

sqrt(1+cot^2(x))=8

1 + cot^{2} (x) = 8

tan(x)-sqrt(1-2tan^2(x))=0

tan (x) - 1 - 2 tan^{2} (x) = 0

sin(x+pi/6)=(sqrt(2))/2

sin (x + \frac{π}{6}) = \frac{2}{2}

2sin(4x)=sin(2x)

2 sin (4 x) = sin (2 x)

5tan^2(t)-tan(t)=0

5 tan^{2} (t) - tan (t) = 0