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受欢迎的三角函数 >

8sin(θ)+15cos(θ)=18

解答

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 18

解答

θ \in R 无解

求解步骤

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 18

两边减去

15 cos (θ)

8 sin (θ) = 18 - 15 cos (θ)

两边进行平方

(8 sin (θ))^{2} = (18 - 15 cos (θ))^{2}

两边减去

(18 - 15 cos (θ))^{2}

64 sin^{2} (θ) - 324 + 540 cos (θ) - 225 cos^{2} (θ) = 0

使用三角恒等式改写

- 324 - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) + 64 sin^{2} (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 324 - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ))

化简

- 324 - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ)) : 540 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 260

- 324 - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ))

乘开

64 (1 - cos^{2} (θ)) : 64 - 64 cos^{2} (θ)

64 (1 - cos^{2} (θ))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = 64, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 64 \cdot 1 - 64 cos^{2} (θ)

数字相乘:

64 \cdot 1 = 64

= 64 - 64 cos^{2} (θ)

= - 324 - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ)

化简

- 324 - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ) : 540 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 260

- 324 - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ)

对同类项分组

= - 225 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) - 64 cos^{2} (θ) - 324 + 64

同类项相加:

- 225 cos^{2} (θ) - 64 cos^{2} (θ) = - 289 cos^{2} (θ)

= - 289 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) - 324 + 64

数字相加/相减:

- 324 + 64 = - 260

= 540 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 260

= 540 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 260

= 540 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 260

- 260 - 289 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) = 0

用替代法求解

- 260 - 289 cos^{2} (θ) + 540 cos (θ) = 0

令

: cos (θ) = u

- 260 - 289 u^{2} + 540 u = 0

- 260 - 289 u^{2} + 540 u = 0 : u = \frac{270}{289} - i \frac{8 35}{289}, u = \frac{270}{289} + i \frac{8 35}{289}

- 260 - 289 u^{2} + 540 u = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

- 289 u^{2} + 540 u - 260 = 0

使用求根公式求解

- 289 u^{2} + 540 u - 260 = 0

二次方程求根公式:

若

a = - 289, b = 540, c = - 260

u_{1, 2} = \frac{- 540 \pm 54 0 ^{2} - 4 ( - 289 ) ( - 260 )}{2 ( - 289 )}

u_{1, 2} = \frac{- 540 \pm 54 0 ^{2} - 4 ( - 289 ) ( - 260 )}{2 ( - 289 )}

化简

54 0^{2} - 4 (- 289) (- 260) : 1635 i

54 0^{2} - 4 (- 289) (- 260)

使用法则

- (- a) = a

= 54 0^{2} - 4 \cdot 289 \cdot 260

数字相乘:

4 \cdot 289 \cdot 260 = 300560

= 54 0^{2} - 300560

使用虚数运算法则:

- a = i a

= i 300560 - 54 0^{2}

- 54 0^{2} + 300560 = 1635

- 54 0^{2} + 300560

54 0^{2} = 291600

= - 291600 + 300560

数字相加/相减:

- 291600 + 300560 = 8960

= 8960

8960

质因数分解:

2^{8} \cdot 5 \cdot 7

8960

8960

除以

28960 = 4480 \cdot 2

= 2 \cdot 4480

4480

除以

24480 = 2240 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2240

2240

除以

22240 = 1120 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1120

1120

除以

21120 = 560 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 560

560

除以

2560 = 280 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 280

280

除以

2280 = 140 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 140

140

除以

2140 = 70 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 70

70

除以

270 = 35 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 35

35

除以

535 = 7 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7

2, 5, 7

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7

= 2^{8} \cdot 5 \cdot 7

= 2^{8} \cdot 5 \cdot 7

使用根式运算法则:

n ab = n a n b

= 2^{8} 5 \cdot 7

使用根式运算法则:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{8} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^{4}

= 2^{4} 5 \cdot 7

整理后得

= 1635

= 1635 i

u_{1, 2} = \frac{- 540 \pm 16 35 i}{2 ( - 289 )}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- 540 + 16 35 i}{2 ( - 289 )}, u_{2} = \frac{- 540 - 16 35 i}{2 ( - 289 )}

u = \frac{- 540 + 16 35 i}{2 ( - 289 )} : \frac{270}{289} - i \frac{8 35}{289}

\frac{- 540 + 16 35 i}{2 ( - 289 )}

去除括号:

(- a) = - a

= \frac{- 540 + 16 35 i}{- 2 \cdot 289}

数字相乘:

2 \cdot 289 = 578

= \frac{- 540 + 16 35 i}{- 578}

使用分式法则:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 540 + 16 35 i}{578}

消掉

\frac{- 540 + 16 35 i}{578} : \frac{2 ( - 135 + 4 35 i )}{289}

\frac{- 540 + 16 35 i}{578}

分解

- 540 + 1635 i : 4 (- 135 + 435 i)

- 540 + 1635 i

改写为

= - 4 \cdot 135 + 4 \cdot 435 i

因式分解出通项

4

= 4 (- 135 + 435 i)

= \frac{4 ( - 135 + 4 35 i )}{578}

约分:

2

= \frac{2 ( - 135 + 4 35 i )}{289}

= - \frac{2 ( - 135 + 4 35 i )}{289}

将

- \frac{2 ( - 135 + 4 35 i )}{289}

改写成标准复数形式:

\frac{270}{289} - \frac{8 35}{289} i

- \frac{2 ( - 135 + 4 35 i )}{289}

乘开

2 (- 135 + 435 i) : - 270 + 835 i

2 (- 135 + 435 i)

使用分配律:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = - 135, c = 435 i

= 2 (- 135) + 2 \cdot 435 i

使用加减运算法则

+ (- a) = - a

= - 2 \cdot 135 + 2 \cdot 435 i

化简

- 2 \cdot 135 + 2 \cdot 435 i : - 270 + 835 i

- 2 \cdot 135 + 2 \cdot 435 i

数字相乘:

2 \cdot 135 = 270

= - 270 + 2 \cdot 435 i

数字相乘:

2 \cdot 4 = 8

= - 270 + 835 i

= - 270 + 835 i

= - \frac{- 270 + 8 35 i}{289}

使用分式法则:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 270 + 8 35 i}{289} = - (- \frac{270}{289}) - (\frac{8 35 i}{289})

= - (- \frac{270}{289}) - (\frac{8 35 i}{289})

去除括号:

(a) = a, - (- a) = a

= \frac{270}{289} - \frac{8 35 i}{289}

= \frac{270}{289} - \frac{8 35}{289} i

u = \frac{- 540 - 16 35 i}{2 ( - 289 )} : \frac{270}{289} + i \frac{8 35}{289}

\frac{- 540 - 16 35 i}{2 ( - 289 )}

去除括号:

(- a) = - a

= \frac{- 540 - 16 35 i}{- 2 \cdot 289}

数字相乘:

2 \cdot 289 = 578

= \frac{- 540 - 16 35 i}{- 578}

使用分式法则:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 540 - 16 35 i}{578}

消掉

\frac{- 540 - 16 35 i}{578} : - \frac{2 ( 135 + 4 35 i )}{289}

\frac{- 540 - 16 35 i}{578}

分解

- 540 - 1635 i : - 4 (135 + 435 i)

- 540 - 1635 i

改写为

= - 4 \cdot 135 - 4 \cdot 435 i

因式分解出通项

4

= - 4 (135 + 435 i)

= - \frac{4 ( 135 + 4 35 i )}{578}

约分:

2

= - \frac{2 ( 135 + 4 35 i )}{289}

= - (- \frac{2 ( 135 + 4 35 i )}{289})

使用法则

- (- a) = a

= \frac{2 ( 135 + 4 35 i )}{289}

将

\frac{2 ( 135 + 4 35 i )}{289}

改写成标准复数形式:

\frac{270}{289} + \frac{8 35}{289} i

\frac{2 ( 135 + 4 35 i )}{289}

乘开

2 (135 + 435 i) : 270 + 835 i

2 (135 + 435 i)

使用分配律:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = 135, c = 435 i

= 2 \cdot 135 + 2 \cdot 435 i

化简

2 \cdot 135 + 2 \cdot 435 i : 270 + 835 i

2 \cdot 135 + 2 \cdot 435 i

数字相乘:

2 \cdot 135 = 270

= 270 + 2 \cdot 435 i

数字相乘:

2 \cdot 4 = 8

= 270 + 835 i

= 270 + 835 i

= \frac{270 + 8 35 i}{289}

使用分式法则:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{270 + 8 35 i}{289} = \frac{270}{289} + \frac{8 35 i}{289}

= \frac{270}{289} + \frac{8 35 i}{289}

= \frac{270}{289} + \frac{8 35}{289} i

二次方程组的解是:

u = \frac{270}{289} - i \frac{8 35}{289}, u = \frac{270}{289} + i \frac{8 35}{289}

u = cos (θ)

代回

cos (θ) = \frac{270}{289} - i \frac{8 35}{289}, cos (θ) = \frac{270}{289} + i \frac{8 35}{289}

cos (θ) = \frac{270}{289} - i \frac{8 35}{289}, cos (θ) = \frac{270}{289} + i \frac{8 35}{289}

cos (θ) = \frac{270}{289} - i \frac{8 35}{289} :

无解

cos (θ) = \frac{270}{289} - i \frac{8 35}{289}

无解

cos (θ) = \frac{270}{289} + i \frac{8 35}{289} :

无解

cos (θ) = \frac{270}{289} + i \frac{8 35}{289}

无解

合并所有解

无解

将解代入原方程进行验证

将它们代入

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 18

检验解是否符合

去除与方程不符的解。

θ \in R 无解

作图

流行的例子

(30)/(sin(A))=(34.4)/(sin(62))

\frac{30}{sin ( A )} = \frac{34.4}{sin ( 6 2 ^{\circ} )}

-5sin(x)=-2cos^2(x)+4,0<= x<= 2pi

- 5 sin (x) = - 2 cos^{2} (x) + 4, 0 \leq x \leq 2 π

solvefor t,4.6=0.106cos(4.36t)

so l v e f or t, 4.6 = 0.106 cos (4.36 t)

sin (x) = \frac{23}{24}

5-5cos(x)=4sin^2(x)

5 - 5 cos (x) = 4 sin^{2} (x)