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Popular Trigonometria >

arctan(x)+arctan(1-x)=arctan(9/7)

Solução

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

Solução

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

Passos da solução

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

Reeecreva usando identidades trigonométricas

arctan (x) + arctan (1 - x)

Use a identidade da transformação de soma em produto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )})

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{9}{7})

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{9}{7})

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = tan (arctan (\frac{9}{7}))

tan (arctan (\frac{9}{7})) = \frac{9}{7}

tan (arctan (\frac{9}{7}))

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

tan (arctan (\frac{9}{7})) = \frac{9}{7}

Usar a seguinte identidade:

tan (arctan (x)) = x

= \frac{9}{7}

= \frac{9}{7}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Resolver

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7} : x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Utilizar multiplicação cruzada de frações (regra de três)

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Simplificar

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} : \frac{1}{1 - x ( 1 - x )}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}

x + 1 - x = 1

x + 1 - x

Agrupar termos semelhantes

= x - x + 1

Somar elementos similares:

x - x = 0

= 1

= \frac{1}{1 - x ( - x + 1 )}

\frac{1}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Utilizar multiplicação cruzada de frações (regra de três): Se

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

então

a \cdot d = b \cdot c

1 \cdot 7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

Simplificar

1 \cdot 7 : 7

1 \cdot 7

Multiplicar os números:

1 \cdot 7 = 7

= 7

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

Resolver

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9 : x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

Expandir

(1 - x (1 - x)) \cdot 9 : 9 - 9 x + 9 x^{2}

(1 - x (1 - x)) \cdot 9

Expandir

1 - x (1 - x) : 1 - x + x^{2}

1 - x (1 - x)

Expandir

- x (1 - x) : - x + x^{2}

- x (1 - x)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - x, b = 1, c = x

= - x \cdot 1 - (- x) x

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a

= - 1 \cdot x + xx

Simplificar

- 1 \cdot x + xx : - x + x^{2}

- 1 \cdot x + xx

1 \cdot x = x

1 \cdot x

Multiplicar:

1 \cdot x = x

= x

xx = x^{2}

xx

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= - x + x^{2}

= - x + x^{2}

= 1 - x + x^{2}

= 9 (x^{2} - x + 1)

= 9 (1 - x + x^{2})

Aplicar a seguinte regra dos produtos notáveis

= 9 \cdot 1 + 9 (- x) + 9 x^{2}

Aplicar as regras dos sinais

+ (- a) = - a

= 9 \cdot 1 - 9 x + 9 x^{2}

Multiplicar os números:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 x + 9 x^{2}

7 = 9 - 9 x + 9 x^{2}

Trocar lados

9 - 9 x + 9 x^{2} = 7

Mova

7

para o lado esquerdo

9 - 9 x + 9 x^{2} = 7

Subtrair

7

de ambos os lados

9 - 9 x + 9 x^{2} - 7 = 7 - 7

Simplificar

9 x^{2} - 9 x + 2 = 0

9 x^{2} - 9 x + 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

9 x^{2} - 9 x + 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 9, b = - 9, c = 2

x_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2}{2 \cdot 9}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2}{2 \cdot 9}

(- 9)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 3

(- 9)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 9)^{2} = 9^{2}

= 9^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 9 \cdot 2 = 72

= 9^{2} - 72

9^{2} = 81

= 81 - 72

Subtrair:

81 - 72 = 9

= 9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

x_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm 3}{2 \cdot 9}

Separe as soluções

x_{1} = \frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 9}, x_{2} = \frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 9}

x = \frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 9} : \frac{2}{3}

\frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 9}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{9 + 3}{2 \cdot 9}

Somar:

9 + 3 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 9}

Multiplicar os números:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{12}{18}

Eliminar o fator comum:

6

= \frac{2}{3}

x = \frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 9} : \frac{1}{3}

\frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 9}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{9 - 3}{2 \cdot 9}

Subtrair:

9 - 3 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 9}

Multiplicar os números:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{6}{18}

Eliminar o fator comum:

6

= \frac{1}{3}

As soluções para a equação de segundo grau são:

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

\frac{2}{3} :

Verdadeiro

\frac{2}{3}

Inserir

n = 1

\frac{2}{3}

Para

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

inserir

x = \frac{2}{3}

arctan (\frac{2}{3}) + arctan (1 - \frac{2}{3}) = arctan (\frac{9}{7})

Simplificar

0.90975 \dots = 0.90975 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

\frac{1}{3} :

Verdadeiro

\frac{1}{3}

Inserir

n = 1

\frac{1}{3}

Para

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

inserir

x = \frac{1}{3}

arctan (\frac{1}{3}) + arctan (1 - \frac{1}{3}) = arctan (\frac{9}{7})

Simplificar

0.90975 \dots = 0.90975 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

Gráfico

Exemplos populares

(2cos(x)+1)(sin(x)-1)=0

(2 cos (x) + 1) (sin (x) - 1) = 0

3cos^2(θ)-sin^2(θ)=0

3 cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = 0

sin(x)=((sqrt(6))/4)

sin (x) = (\frac{6}{4})

sqrt(3)*sin(x)+cos(x)=sqrt(3)

3 \cdot sin (x) + cos (x) = 3

sin(θ)=(sqrt(5))/5

sin (θ) = \frac{5}{5}