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Beliebt Trigonometrie >

3sin(θ)+4cos(θ)=3

Lösung

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

Lösung

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 π - 0.28379 \dots + 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 343.73979 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

Subtrahiere

4 cos (θ)

von beiden Seiten

3 sin (θ) = 3 - 4 cos (θ)

Quadriere beide Seiten

(3 sin (θ))^{2} = (3 - 4 cos (θ))^{2}

Subtrahiere

(3 - 4 cos (θ))^{2}

von beiden Seiten

9 sin^{2} (θ) - 9 + 24 cos (θ) - 16 cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 9 - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) + 9 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) + 9 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

- 9 - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) + 9 (1 - cos^{2} (θ)) : 24 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ)

- 9 - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) + 9 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

9 (1 - cos^{2} (θ)) : 9 - 9 cos^{2} (θ)

9 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (θ)

= - 9 - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) + 9 - 9 cos^{2} (θ)

Vereinfache

- 9 - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) + 9 - 9 cos^{2} (θ) : 24 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ)

- 9 - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) + 9 - 9 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) - 9 + 9

Addiere gleiche Elemente:

- 16 cos^{2} (θ) - 9 cos^{2} (θ) = - 25 cos^{2} (θ)

= - 25 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) - 9 + 9

- 9 + 9 = 0

= 24 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ)

= 24 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ)

= 24 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ)

24 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

24 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

24 u - 25 u^{2} = 0

24 u - 25 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{24}{25}

24 u - 25 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 25 u^{2} + 24 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 25 u^{2} + 24 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 25, b = 24, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 2 4 ^{2} - 4 ( - 25 ) \cdot 0}{2 ( - 25 )}

u_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 2 4 ^{2} - 4 ( - 25 ) \cdot 0}{2 ( - 25 )}

2 4^{2} - 4 (- 25) \cdot 0 = 24

2 4^{2} - 4 (- 25) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2 4^{2} + 4 \cdot 25 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 2 4^{2} + 0

2 4^{2} + 0 = 2 4^{2}

= 2 4^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 24

u_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 24}{2 ( - 25 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 24 + 24}{2 ( - 25 )}, u_{2} = \frac{- 24 - 24}{2 ( - 25 )}

u = \frac{- 24 + 24}{2 ( - 25 )} : 0

\frac{- 24 + 24}{2 ( - 25 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 24 + 24}{- 2 \cdot 25}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 24 + 24 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 25}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{0}{- 50}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{50}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 24 - 24}{2 ( - 25 )} : \frac{24}{25}

\frac{- 24 - 24}{2 ( - 25 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 24 - 24}{- 2 \cdot 25}

Subtrahiere die Zahlen:

- 24 - 24 = - 48

= \frac{- 48}{- 2 \cdot 25}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{- 48}{- 50}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{48}{50}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{24}{25}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = \frac{24}{25}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 0, cos (θ) = \frac{24}{25}

cos (θ) = 0, cos (θ) = \frac{24}{25}

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = \frac{24}{25} : θ = arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{24}{25}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{24}{25}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{24}{25}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

ein, um zu lösen

3 sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) + 4 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

3 = 3

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falsch

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

ein, um zu lösen

3 sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + 4 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

- 3 = 3

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1

Setze

θ = arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

ein, um zu lösen

3 sin (arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1) + 4 cos (arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

4.68 = 3

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1

Setze

θ = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

ein, um zu lösen

3 sin (2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1) + 4 cos (2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

3 = 3

\Rightarrow Wahr

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 π - 0.28379 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)=(-5)/(13)

cos (x) = \frac{- 5}{13}

1=3cos(2θ)

1 = 3 cos (2 θ)

4sin(x)=4sin(2x)

4 sin (x) = 4 sin (2 x)

csc(x)-sin(x)=cos(x)cot(3x-50)

csc (x) - sin (x) = cos (x) cot (3 x - 50)

sin^2(x)=1-cos(2x)

sin^{2} (x) = 1 - cos (2 x)