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Populaire Trigonométrie >

6sec^2(x)-3cos(x)-10=sec(x)

Solution

6 sec^{2} (x) - 3 cos (x) - 10 = sec (x)

Solution

x = π + 2 πn, x = 0.84106 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn

Degrés

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 48.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 311.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

6 sec^{2} (x) - 3 cos (x) - 10 = sec (x)

Soustraire

sec (x)

des deux côtés

6 sec^{2} (x) - 3 cos (x) - 10 - sec (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 10 - sec (x) - 3 cos (x) + 6 sec^{2} (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 10 - sec (x) - 3 \cdot \frac{1}{sec ( x )} + 6 sec^{2} (x)

3 \cdot \frac{1}{sec ( x )} = \frac{3}{sec ( x )}

3 \cdot \frac{1}{sec ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{sec ( x )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{sec ( x )}

= - 10 - sec (x) - \frac{3}{sec ( x )} + 6 sec^{2} (x)

- 10 - \frac{3}{sec ( x )} - sec (x) + 6 sec^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

- 10 - \frac{3}{sec ( x )} - sec (x) + 6 sec^{2} (x) = 0

Soit :

sec (x) = u

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0 : u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0

Multiplier les deux côtés par

u

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0

Multiplier les deux côtés par

u

- 10 u - \frac{3}{u} u - uu + 6 u^{2} u = 0 \cdot u

Simplifier

- 10 u - \frac{3}{u} u - uu + 6 u^{2} u = 0 \cdot u

Simplifier

- \frac{3}{u} u : - 3

- \frac{3}{u} u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{3 u}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= - 3

Simplifier

- uu : - u^{2}

- uu

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - u^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= - u^{2}

Simplifier

6 u^{2} u : 6 u^{3}

6 u^{2} u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 6 u^{2 + 1}

Additionner les nombres :

2 + 1 = 3

= 6 u^{3}

Simplifier

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

Résoudre

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0 : u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3 = 0

Factoriser

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3 : (u + 1) (3 u + 1) (2 u - 3)

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3

Utiliser le théorème de la racine rationnelle

a_{0} = 3, a_{n} = 6

Les diviseurs de

a_{0} : 1, 3,

Les diviseurs de

a_{n} : 1, 2, 3, 6

Par conséquent, vérifier les nombres rationnels suivants :

\pm \frac{1 , 3}{1 , 2 , 3 , 6}

- \frac{1}{1}

est une racine de l'expression, donc factorise

u + 1

= (u + 1) \frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = 6 u^{2} - 7 u - 3

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

Diviser

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} : \frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = 6 u^{2} + \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

Diviser les coefficients directeurs

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3

et le diviseur

u + 1 : \frac{6 u ^{3}}{u} = 6 u^{2}

Quotient = 6 u^{2}

Multiplier

u + 1

par

6 u^{2} : 6 u^{3} + 6 u^{2}

Soustraire

6 u^{3} + 6 u^{2}

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3

pour obtenir un nouveau reste

Reste = - 7 u^{2} - 10 u - 3

Par conséquent

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = 6 u^{2} + \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

= 6 u^{2} + \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

Diviser

\frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} : \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = - 7 u + \frac{- 3 u - 3}{u + 1}

Diviser les coefficients directeurs

- 7 u^{2} - 10 u - 3

et le diviseur

u + 1 : \frac{- 7 u ^{2}}{u} = - 7 u

Quotient = - 7 u

Multiplier

u + 1

par

- 7 u : - 7 u^{2} - 7 u

Soustraire

- 7 u^{2} - 7 u

- 7 u^{2} - 10 u - 3

pour obtenir un nouveau reste

Reste = - 3 u - 3

Par conséquent

\frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = - 7 u + \frac{- 3 u - 3}{u + 1}

= 6 u^{2} - 7 u + \frac{- 3 u - 3}{u + 1}

Diviser

\frac{- 3 u - 3}{u + 1} : \frac{- 3 u - 3}{u + 1} = - 3

Diviser les coefficients directeurs

- 3 u - 3

et le diviseur

u + 1 : \frac{- 3 u}{u} = - 3

Quotient = - 3

Multiplier

u + 1

par

- 3 : - 3 u - 3

Soustraire

- 3 u - 3

- 3 u - 3

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 0

Par conséquent

\frac{- 3 u - 3}{u + 1} = - 3

= 6 u^{2} - 7 u - 3

= 6 u^{2} - 7 u - 3

Factoriser

6 u^{2} - 7 u - 3 : (3 u + 1) (2 u - 3)

6 u^{2} - 7 u - 3

Décomposer l'expression en groupes

6 u^{2} - 7 u - 3

Définition

Facteurs de

18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18

18

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

18 : 2, 3, 3

18

18

divisée par

218 = 9 \cdot 2

= 2 \cdot 9

9

divisée par

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 3 \cdot 3

Multiplier les facteurs premiers de

18 : 6, 9

2 \cdot 3 = 6

3 \cdot 3 = 9

6, 9

6, 9

Ajouter les facteurs premiers :

2, 3

Ajouter 1 et le nombre

18

lui-même

1, 18

Les facteurs de

18

1, 2, 3, 6, 9, 18

Facteurs négatifs de

18 : - 1, - 2, - 3, - 6, - 9, - 18

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2, - 3, - 6, - 9, - 18

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = - 18,

vérifier si

u + v = - 7

Vérifier

u = 1, v = - 18 : u * v = - 18, u + v = - 17 \Rightarrow

FauxVérifier

u = 2, v = - 9 : u * v = - 18, u + v = - 7 \Rightarrow

vrai

u = 2, v = - 9

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(6 u^{2} + 2 u) + (- 9 u - 3)

= (6 u^{2} + 2 u) + (- 9 u - 3)

Factoriser

2 u

depuis

6 u^{2} + 2 u : 2 u (3 u + 1)

6 u^{2} + 2 u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 6 uu + 2 u

Récrire

6

comme

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 uu + 2 u

Factoriser le terme commun

2 u

= 2 u (3 u + 1)

Factoriser

- 3

depuis

- 9 u - 3 : - 3 (3 u + 1)

- 9 u - 3

Récrire

9

comme

3 \cdot 3

= - 3 \cdot 3 u - 3

Factoriser le terme commun

- 3

= - 3 (3 u + 1)

= 2 u (3 u + 1) - 3 (3 u + 1)

Factoriser le terme commun

3 u + 1

= (3 u + 1) (2 u - 3)

= (u + 1) (3 u + 1) (2 u - 3)

(u + 1) (3 u + 1) (2 u - 3) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or 3 u + 1 = 0 or 2 u - 3 = 0

Résoudre

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

u = - 1

u = - 1

Résoudre

3 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{3}

3 u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

3 u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

3 u = - 1

3 u = - 1

Diviser les deux côtés par

3

3 u = - 1

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Simplifier

u = - \frac{1}{3}

u = - \frac{1}{3}

Résoudre

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u - 3 = 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplifier

2 u = 3

2 u = 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u = 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Simplifier

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

Les solutions sont

u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2}

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

Remplacer

u = sec (x)

sec (x) = - 1, sec (x) = - \frac{1}{3}, sec (x) = \frac{3}{2}

sec (x) = - 1, sec (x) = - \frac{1}{3}, sec (x) = \frac{3}{2}

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

Solutions générales pour

sec (x) = - 1

Tableau de périodicité

sec (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

sec (x) = - \frac{1}{3} :

Aucune solution

sec (x) = - \frac{1}{3}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Aucune solution

sec (x) = \frac{3}{2} : x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

sec (x) = \frac{3}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sec (x) = \frac{3}{2}

Solutions générales pour

sec (x) = \frac{3}{2}

sec (x) = a \Rightarrow x = arcsec (a) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (a) + 2 πn

x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = π + 2 πn, x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = π + 2 πn, x = 0.84106 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

tan(x)-sec(x)=sqrt(3)

tan (x) - sec (x) = 3

sin^2(x)+cos(2x)=1

sin^{2} (x) + cos (2 x) = 1

4tan(3x)=-4

4 tan (3 x) = - 4

cos(pi/3-x)=1

cos (\frac{π}{3} - x) = 1

2(cos(t))^2-cos(t)-1=0

2 (cos (t))^{2} - cos (t) - 1 = 0