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Beliebt Trigonometrie >

3cos(x)=3cos(2x)

Lösung

3 cos (x) = 3 cos (2 x)

Lösung

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 2 πn

Grad

x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos (x) = 3 cos (2 x)

Subtrahiere

3 cos (2 x)

von beiden Seiten

3 cos (x) - 3 cos (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 3 cos (2 x) + 3 cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 3 (2 cos^{2} (x) - 1) + 3 cos (x)

- (- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 3 + 3 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- (- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 3 + 3 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 3 + 3 u = 0

- (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 3 + 3 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 1

- (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 3 + 3 u = 0

Schreibe

- (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 3 + 3 u

um:

3 - 6 u^{2} + 3 u

- (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 3 + 3 u

= - 3 (- 1 + 2 u^{2}) + 3 u

Multipliziere aus

- 3 (- 1 + 2 u^{2}) : 3 - 6 u^{2}

- 3 (- 1 + 2 u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = - 3, b = - 1, c = 2 u^{2}

= - 3 (- 1) + (- 3) \cdot 2 u^{2}

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, + (- a) = - a

= 3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 u^{2}

Vereinfache

3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 u^{2} : 3 - 6 u^{2}

3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= 3 - 6 u^{2}

= 3 - 6 u^{2}

= 3 - 6 u^{2} + 3 u

3 - 6 u^{2} + 3 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 6 u^{2} + 3 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 6 u^{2} + 3 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 6, b = 3, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 3}{2 ( - 6 )}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 3}{2 ( - 6 )}

3^{2} - 4 (- 6) \cdot 3 = 9

3^{2} - 4 (- 6) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 3 = 72

= 3^{2} + 72

3^{2} = 9

= 9 + 72

Addiere die Zahlen:

9 + 72 = 81

= 81

Faktorisiere die Zahl:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

9^{2} = 9

= 9

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 9}{2 ( - 6 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 3 + 9}{2 ( - 6 )}, u_{2} = \frac{- 3 - 9}{2 ( - 6 )}

u = \frac{- 3 + 9}{2 ( - 6 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 3 + 9}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 3 + 9}{- 2 \cdot 6}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 3 + 9 = 6

= \frac{6}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{6}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 3 - 9}{2 ( - 6 )} : 1

\frac{- 3 - 9}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 3 - 9}{- 2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

- 3 - 9 = - 12

= \frac{- 12}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 12}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{12}{12}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = 1

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = 1

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(3x)+sin(x)=2cos^2(x)

sin (3 x) + sin (x) = 2 cos^{2} (x)

tan(θ)= 5/9

tan (θ) = \frac{5}{9}

2sin(x)+3cos(x)=0

2 sin (x) + 3 cos (x) = 0

tan(x)+cot(x)=2sqrt(2)

tan (x) + cot (x) = 22

sin(30t)=-0.6

sin (30 t) = - 0.6