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Populaire Trigonométrie >

sin(150)+cos(510)+tan(4110)-tan(210)

Solution

sin (15 0^{\circ}) + cos (51 0^{\circ}) + tan (411 0^{\circ}) - tan (21 0^{\circ})

Solution

- \frac{7 3 - 3}{6}

Décimale

- 1.52072 \dots

étapes des solutions

sin (15 0^{\circ}) + cos (51 0^{\circ}) + tan (411 0^{\circ}) - tan (21 0^{\circ})

cos (51 0^{\circ}) = cos (15 0^{\circ})

cos (51 0^{\circ})

Récrire

51 0^{\circ}

comme

36 0^{\circ} + 15 0^{\circ}

= cos (36 0^{\circ} + 15 0^{\circ})

Appliquer la périodicité de

cos

cos (x + 36 0^{\circ}) = cos (x)

cos (36 0^{\circ} + 15 0^{\circ}) = cos (15 0^{\circ})

= cos (15 0^{\circ})

= sin (15 0^{\circ}) + cos (15 0^{\circ}) + tan (411 0^{\circ}) - tan (21 0^{\circ})

tan (411 0^{\circ}) = tan (15 0^{\circ})

tan (411 0^{\circ})

Récrire

411 0^{\circ}

comme

18 0^{\circ} \cdot 22 + 15 0^{\circ}

= tan (18 0^{\circ} 22 + 15 0^{\circ})

Appliquer la périodicité de

tan

tan (x + 18 0^{\circ} \cdot k) = tan (x)

tan (18 0^{\circ} \cdot 22 + 15 0^{\circ}) = tan (15 0^{\circ})

= tan (15 0^{\circ})

= sin (15 0^{\circ}) + cos (15 0^{\circ}) + tan (15 0^{\circ}) - tan (21 0^{\circ})

tan (21 0^{\circ}) = tan (3 0^{\circ})

tan (21 0^{\circ})

Récrire

21 0^{\circ}

comme

18 0^{\circ} + 3 0^{\circ}

= tan (18 0^{\circ} + 3 0^{\circ})

Appliquer la périodicité de

tan

tan (x + 18 0^{\circ}) = tan (x)

tan (18 0^{\circ} + 3 0^{\circ}) = tan (3 0^{\circ})

= tan (3 0^{\circ})

= sin (15 0^{\circ}) + cos (15 0^{\circ}) + tan (15 0^{\circ}) - tan (3 0^{\circ})

Récrire en utilisant des identités trigonométriques:

tan (15 0^{\circ}) = \frac{sin ( 15 0 ^{\circ} )}{cos ( 15 0 ^{\circ} )}

tan (15 0^{\circ})

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 15 0 ^{\circ} )}{cos ( 15 0 ^{\circ} )}

= sin (15 0^{\circ}) + cos (15 0^{\circ}) + \frac{sin ( 15 0 ^{\circ} )}{cos ( 15 0 ^{\circ} )} - tan (3 0^{\circ})

Simplifier

= \frac{sin ( 15 0 ^{\circ} ) cos ( 15 0 ^{\circ} ) + cos ^{2} ( 15 0 ^{\circ} ) + sin ( 15 0 ^{\circ} ) - tan ( 3 0 ^{\circ} ) cos ( 15 0 ^{\circ} )}{cos ( 15 0 ^{\circ} )}

Utiliser l'identité triviale suivante:

sin (15 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

sin (15 0^{\circ})

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

Utiliser l'identité triviale suivante:

cos (15 0^{\circ}) = - \frac{3}{2}

cos (15 0^{\circ})

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - \frac{3}{2}

Utiliser l'identité triviale suivante:

tan (3 0^{\circ}) = \frac{3}{3}

tan (3 0^{\circ})

Tableau de périodicité

tan (x)

avec un cycle

18 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= \frac{3}{3}

= \frac{\frac{1}{2} ( - \frac{3}{2} ) + ( - \frac{3}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2} - \frac{3}{3} ( - \frac{3}{2} )}{- \frac{3}{2}}

Simplifier

\frac{\frac{1}{2} ( - \frac{3}{2} ) + ( - \frac{3}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2} - \frac{3}{3} ( - \frac{3}{2} )}{- \frac{3}{2}} : - \frac{7 3 - 3}{6}

\frac{\frac{1}{2} ( - \frac{3}{2} ) + ( - \frac{3}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2} - \frac{3}{3} ( - \frac{3}{2} )}{- \frac{3}{2}}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + ( - \frac{3}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2} + \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{2}}{- \frac{3}{2}}

- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + (- \frac{3}{2})^{2} + \frac{1}{2} + \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{- 3 + 2}{2 3} + \frac{1}{2} + (\frac{3}{2})^{2}

- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + (- \frac{3}{2})^{2} + \frac{1}{2} + \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{2}

Grouper comme termes

= - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + (- \frac{3}{2})^{2} + \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{2}

Additionner les éléments similaires :

- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 - 3}{2 3}

- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{2}

Factoriser le terme commun

\frac{3}{2}

= \frac{3}{2} (- \frac{1}{2} + \frac{3}{3})

- \frac{1}{2} + \frac{3}{3} = \frac{- 3 + 2}{2 3}

- \frac{1}{2} + \frac{3}{3}

Annuler

\frac{3}{3} : \frac{1}{3}

\frac{3}{3}

Annuler

\frac{3}{3} : \frac{1}{3}

\frac{3}{3}

Appliquer la règle des radicaux:

n a = a^{\frac{1}{n}}

3 = 3^{\frac{1}{2}}

= \frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{1}} = \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Soustraire les nombres :

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{1}{3 ^{\frac{1}{2}}}

Appliquer la règle des radicaux:

a^{\frac{1}{n}} = n a

3^{\frac{1}{2}} = 3

= \frac{1}{3}

= \frac{1}{3}

= - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}

Plus petit commun multiple de

2, 3 : 23

2, 3

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

2

ou dans

3

= 23

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

23

Pour

\frac{1}{2} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

3

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 3} = \frac{3}{2 3}

Pour

\frac{1}{3} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

2

\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{2 3}

= - \frac{3}{2 3} + \frac{2}{2 3}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 3 + 2}{2 3}

= \frac{3}{2} \cdot \frac{2 - 3}{2 3}

= \frac{3}{2} \cdot \frac{2 - 3}{2 3} + \frac{1}{2} + (- \frac{3}{2})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- \frac{3}{2})^{2} = (\frac{3}{2})^{2}

= \frac{3}{2} \cdot \frac{2 - 3}{2 3} + \frac{1}{2} + (\frac{3}{2})^{2}

= \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{2 - 3}{2 3} + \frac{1}{2} + ( \frac{3}{2} ) ^{2}}{- \frac{3}{2}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{- 3 + 2}{2 3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + ( \frac{3}{2} ) ^{2}}{\frac{3}{2}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

\frac{\frac{- 3 + 2}{2 3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + ( \frac{3}{2} ) ^{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{( \frac{- 3 + 2}{2 3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + ( \frac{3}{2} ) ^{2} ) \cdot 2}{3}

= - \frac{( \frac{- 3 + 2}{2 3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + ( \frac{3}{2} ) ^{2} ) \cdot 2}{3}

\frac{- 3 + 2}{2 3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{- 3 + 2}{4}

\frac{- 3 + 2}{2 3} \cdot \frac{3}{2}

Multiplier des fractions:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{( - 3 + 2 ) 3}{2 3 \cdot 2}

Annuler le facteur commun :

3

= \frac{- 3 + 2}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 3 + 2}{4}

(\frac{3}{2})^{2} = \frac{3}{2 ^{2}}

(\frac{3}{2})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{2 ^{2}}

(3)^{2} : 3

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 3

= \frac{3}{2 ^{2}}

= - \frac{2 ( \frac{1}{2} + \frac{3}{2 ^{2}} + \frac{2 - 3}{4} )}{3}

2^{2} = 4

= - \frac{2 ( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{2 - 3}{4} )}{3}

Combiner les fractions

\frac{2 - 3}{4} + \frac{3}{4} : \frac{5 - 3}{4}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 3 + 2 + 3}{4}

Additionner les nombres :

2 + 3 = 5

= \frac{5 - 3}{4}

= - \frac{2 ( \frac{1}{2} + \frac{5 - 3}{4} )}{3}

Relier

\frac{5 - 3}{4} + \frac{1}{2} : \frac{7 - 3}{4}

\frac{5 - 3}{4} + \frac{1}{2}

Plus petit commun multiple de

4, 2 : 4

4, 2

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Factorisation première de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

4

2

= 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= 4

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

4

Pour

\frac{1}{2} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

2

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}

= \frac{5 - 3}{4} + \frac{2}{4}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 - 3 + 2}{4}

Additionner les nombres :

5 + 2 = 7

= \frac{7 - 3}{4}

= - \frac{2 \cdot \frac{7 - 3}{4}}{3}

Multiplier

\frac{7 - 3}{4} \cdot 2 : \frac{7 - 3}{2}

\frac{7 - 3}{4} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 7 - 3 ) \cdot 2}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{7 - 3}{2}

= - \frac{\frac{7 - 3}{2}}{3}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= - \frac{7 - 3}{2 3}

Simplifier

- \frac{7 - 3}{2 3} : - \frac{7 3 - 3}{6}

- \frac{7 - 3}{2 3}

Multiplier par le conjugué

\frac{3}{3}

= - \frac{( 7 - 3 ) 3}{2 3 3}

(7 - 3) 3 = 73 - 3

(7 - 3) 3

= 3 (7 - 3)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 7, c = 3

= 3 \cdot 7 - 33

= 73 - 33

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

33 = 3

= 73 - 3

233 = 6

233

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

33 = 3

= 2 \cdot 3

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= 6

= - \frac{7 3 - 3}{6}

= - \frac{7 3 - 3}{6}

= - \frac{7 3 - 3}{6}

Exemples populaires

1+2cos(60)

1 + 2 cos (6 0^{\circ})

sin((6pi)/(12))

sin (\frac{6 π}{12})

5*sin(20)

5 \cdot sin (2 0^{\circ})

cos(pi/2)-sin((5pi)/3)+tan((9pi)/4)-cos((5pi)/6)+tan((7pi)/6)

cos (\frac{π}{2}) - sin (\frac{5 π}{3}) + tan (\frac{9 π}{4}) - cos (\frac{5 π}{6}) + tan (\frac{7 π}{6})

arccos(cos((-pi)/6))

arccos (cos (\frac{- π}{6}))