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Popolare Trigonometria >

3tan^3(θ)=tan(θ)

Soluzione

3 tan^{3} (θ) = tan (θ)

Soluzione

θ = πn, θ = \frac{5 π}{6} + πn, θ = \frac{π}{6} + πn

Gradi

θ = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

3 tan^{3} (θ) = tan (θ)

Risolvi per sostituzione

3 tan^{3} (θ) = tan (θ)

Sia:

tan (θ) = u

3 u^{3} = u

3 u^{3} = u : u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

3 u^{3} = u

Spostare

u

a sinistra dell'equazione

3 u^{3} = u

Sottrarre

u

da entrambi i lati

3 u^{3} - u = u - u

Semplificare

3 u^{3} - u = 0

3 u^{3} - u = 0

Fattorizza

3 u^{3} - u : u (3 u + 1) (3 u - 1)

3 u^{3} - u

Fattorizzare dal termine comune

u : u (3 u^{2} - 1)

3 u^{3} - u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= 3 u^{2} u - u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (3 u^{2} - 1)

= u (3 u^{2} - 1)

Fattorizza

3 u^{2} - 1 : (3 u + 1) (3 u - 1)

3 u^{2} - 1

Riscrivi

3 u^{2} - 1

come

(3 u)^{2} - 1^{2}

3 u^{2} - 1

Applicare la regola della radice:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} u^{2} = (3 u)^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 u)^{2} - 1^{2} = (3 u + 1) (3 u - 1)

= (3 u + 1) (3 u - 1)

= u (3 u + 1) (3 u - 1)

u (3 u + 1) (3 u - 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u = 0 or 3 u + 1 = 0 or 3 u - 1 = 0

Risolvi

3 u + 1 = 0 : u = - \frac{3}{3}

3 u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

3 u = - 1

3 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= u

Semplificare

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Razionalizzare

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Applicare la regola della radice:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

Risolvi

3 u - 1 = 0 : u = \frac{3}{3}

3 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

3 u = 1

3 u = 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u = 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= u

Semplificare

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Applicare la regola della radice:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

Le soluzioni sono

u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

Sostituire indietro

u = tan (θ)

tan (θ) = 0, tan (θ) = - \frac{3}{3}, tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (θ) = 0, tan (θ) = - \frac{3}{3}, tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (θ) = 0 : θ = πn

tan (θ) = 0

Soluzioni generali per

tan (θ) = 0

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = 0 + πn

θ = 0 + πn

Risolvi

θ = 0 + πn : θ = πn

θ = 0 + πn

0 + πn = πn

θ = πn

θ = πn

tan (θ) = - \frac{3}{3} : θ = \frac{5 π}{6} + πn

tan (θ) = - \frac{3}{3}

Soluzioni generali per

tan (θ) = - \frac{3}{3}

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = \frac{5 π}{6} + πn

θ = \frac{5 π}{6} + πn

tan (θ) = \frac{3}{3} : θ = \frac{π}{6} + πn

tan (θ) = \frac{3}{3}

Soluzioni generali per

tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = \frac{π}{6} + πn

θ = \frac{π}{6} + πn

Combinare tutte le soluzioni

θ = πn, θ = \frac{5 π}{6} + πn, θ = \frac{π}{6} + πn

Grafico

Esempi popolari

csc^2(x)-4=0

csc^{2} (x) - 4 = 0

cos(pi/(12))

cos (\frac{π}{12})

sin^2(x)-1=0

sin^{2} (x) - 1 = 0

cot(60)

cot (6 0^{\circ})

sec^2(pi/2)

sec^{2} (\frac{π}{2})