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Popolare Trigonometria >

sin(pi+i pi/2)

Soluzione

sin (π + i \frac{π}{2})

Soluzione

i \frac{1 - e ^{π}}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Fasi della soluzione

sin (π + i \frac{π}{2})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

sin (π) cosh (\frac{π}{2}) + i cos (π) sinh (\frac{π}{2})

sin (π + i \frac{π}{2})

Usare l'identità seguente:

sin (a + bi) = sin (a) cosh (b) + i cos (a) sinh (b)

= sin (π) cosh (\frac{π}{2}) + i cos (π) sinh (\frac{π}{2})

= sin (π) cosh (\frac{π}{2}) + i cos (π) sinh (\frac{π}{2})

Usare la seguente identità triviale:

sin (π) = 0

sin (π)

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

cosh (\frac{π}{2}) = \frac{e ^{π} + 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

cosh (\frac{π}{2})

Usa l'identità iperbolica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{\frac{π}{2}} + e ^{- \frac{π}{2}}}{2}

\frac{e ^{\frac{π}{2}} + e ^{- \frac{π}{2}}}{2} = \frac{e ^{π} + 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

\frac{e ^{\frac{π}{2}} + e ^{- \frac{π}{2}}}{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \frac{e ^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{e ^{\frac{π}{2}}}}{2}

Unisci

e^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{e ^{\frac{π}{2}}} : \frac{e ^{π} + 1}{e ^{\frac{π}{2}}}

e^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{e ^{\frac{π}{2}}}

Converti l'elemento in frazione:

e^{\frac{π}{2}} = \frac{e ^{\frac{π}{2}} e ^{\frac{π}{2}}}{e ^{\frac{π}{2}}}

= \frac{e ^{\frac{π}{2}} e ^{\frac{π}{2}}}{e ^{\frac{π}{2}}} + \frac{1}{e ^{\frac{π}{2}}}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{\frac{π}{2}} e ^{\frac{π}{2}} + 1}{e ^{\frac{π}{2}}}

e^{\frac{π}{2}} e^{\frac{π}{2}} + 1 = e^{2 \cdot \frac{π}{2}} + 1

e^{\frac{π}{2}} e^{\frac{π}{2}} + 1

e^{\frac{π}{2}} e^{\frac{π}{2}} = e^{2 \cdot \frac{π}{2}}

e^{\frac{π}{2}} e^{\frac{π}{2}}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{\frac{π}{2}} e^{\frac{π}{2}} = e^{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}

= e^{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}

Aggiungi elementi simili:

\frac{π}{2} + \frac{π}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2}

= e^{2 \cdot \frac{π}{2}}

= e^{2 \cdot \frac{π}{2}} + 1

= \frac{e ^{2 \cdot \frac{π}{2}} + 1}{e ^{\frac{π}{2}}}

Moltiplicare

2 \cdot \frac{π}{2} : π

2 \cdot \frac{π}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= π

= \frac{e ^{π} + 1}{e ^{\frac{π}{2}}}

= \frac{\frac{e ^{π} + 1}{e ^{\frac{π}{2}}}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{π} + 1}{e ^{\frac{π}{2}} \cdot 2}

= \frac{e ^{π} + 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Usare la seguente identità triviale:

cos (π) = (- 1)

cos (π)

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= (- 1)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

sinh (\frac{π}{2}) = \frac{e ^{π} - 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

sinh (\frac{π}{2})

Usa l'identità iperbolica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{\frac{π}{2}} - e ^{- \frac{π}{2}}}{2}

\frac{e ^{\frac{π}{2}} - e ^{- \frac{π}{2}}}{2} = \frac{e ^{π} - 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

\frac{e ^{\frac{π}{2}} - e ^{- \frac{π}{2}}}{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \frac{e ^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{e ^{\frac{π}{2}}}}{2}

Unisci

e^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{e ^{\frac{π}{2}}} : \frac{e ^{π} - 1}{e ^{\frac{π}{2}}}

e^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{e ^{\frac{π}{2}}}

Converti l'elemento in frazione:

e^{\frac{π}{2}} = \frac{e ^{\frac{π}{2}} e ^{\frac{π}{2}}}{e ^{\frac{π}{2}}}

= \frac{e ^{\frac{π}{2}} e ^{\frac{π}{2}}}{e ^{\frac{π}{2}}} - \frac{1}{e ^{\frac{π}{2}}}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{\frac{π}{2}} e ^{\frac{π}{2}} - 1}{e ^{\frac{π}{2}}}

e^{\frac{π}{2}} e^{\frac{π}{2}} - 1 = e^{2 \cdot \frac{π}{2}} - 1

e^{\frac{π}{2}} e^{\frac{π}{2}} - 1

e^{\frac{π}{2}} e^{\frac{π}{2}} = e^{2 \cdot \frac{π}{2}}

e^{\frac{π}{2}} e^{\frac{π}{2}}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{\frac{π}{2}} e^{\frac{π}{2}} = e^{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}

= e^{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}

Aggiungi elementi simili:

\frac{π}{2} + \frac{π}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2}

= e^{2 \cdot \frac{π}{2}}

= e^{2 \cdot \frac{π}{2}} - 1

= \frac{e ^{2 \cdot \frac{π}{2}} - 1}{e ^{\frac{π}{2}}}

Moltiplicare

2 \cdot \frac{π}{2} : π

2 \cdot \frac{π}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= π

= \frac{e ^{π} - 1}{e ^{\frac{π}{2}}}

= \frac{\frac{e ^{π} - 1}{e ^{\frac{π}{2}}}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{π} - 1}{e ^{\frac{π}{2}} \cdot 2}

= \frac{e ^{π} - 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

= 0 \cdot \frac{e ^{π} + 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}} + i (- 1) \frac{e ^{π} - 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Semplificare

0 \cdot \frac{e ^{π} + 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}} + i (- 1) \frac{e ^{π} - 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}} : i \frac{1 - e ^{π}}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

0 \cdot \frac{e ^{π} + 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}} + i (- 1) \frac{e ^{π} - 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= 0 \cdot \frac{e ^{π} + 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}} - i 1 \cdot \frac{e ^{π} - 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

0 \cdot \frac{e ^{π} + 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}} = 0

0 \cdot \frac{e ^{π} + 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

i 1 \cdot \frac{e ^{π} - 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}} = \frac{i ( e ^{π} - 1 )}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

i 1 \cdot \frac{e ^{π} - 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= 1 \cdot \frac{i ( e ^{π} - 1 )}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Moltiplicare:

1 \cdot \frac{( e ^{π} - 1 ) i}{2 e ^{\frac{π}{2}}} = \frac{( e ^{π} - 1 ) i}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

= \frac{i ( e ^{π} - 1 )}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

= 0 - \frac{i ( e ^{π} - 1 )}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

0 - \frac{( e ^{π} - 1 ) i}{2 e ^{\frac{π}{2}}} = - \frac{( e ^{π} - 1 ) i}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

= - \frac{i ( e ^{π} - 1 )}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Riscrivi

- \frac{i ( e ^{π} - 1 )}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

in forma complessa standard:

\frac{- e ^{π} + 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}} i

- \frac{i ( e ^{π} - 1 )}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Espandi

i (e^{π} - 1) : i e^{π} - i

i (e^{π} - 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = i, b = e^{π}, c = 1

= i e^{π} - i 1

= i e^{π} - 1 i

Moltiplicare:

1 i = i

= i e^{π} - i

= - \frac{i e ^{π} - i}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{i e ^{π} - i}{2 e ^{\frac{π}{2}}} = - (\frac{i e ^{π}}{2 e ^{\frac{π}{2}}}) - (- \frac{i}{2 e ^{\frac{π}{2}}})

= - (\frac{i e ^{π}}{2 e ^{\frac{π}{2}}}) - (- \frac{i}{2 e ^{\frac{π}{2}}})

Rimuovi le parentesi:

(a) = a, - (- a) = a

= - \frac{i e ^{π}}{2 e ^{\frac{π}{2}}} + \frac{i}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Cancellare

\frac{i e ^{π}}{2 e ^{\frac{π}{2}}} : \frac{i e ^{\frac{π}{2}}}{2}

\frac{i e ^{π}}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Cancellare

\frac{i e ^{π}}{2 e ^{\frac{π}{2}}} : \frac{i e ^{\frac{π}{2}}}{2}

\frac{i e ^{π}}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Applica la regola degli esponenti:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{e ^{π}}{e ^{\frac{π}{2}}} = e^{π - \frac{π}{2}}

= \frac{i e ^{π - \frac{π}{2}}}{2}

Sottrai i numeri:

π - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}

= \frac{i e ^{\frac{π}{2}}}{2}

= \frac{i e ^{\frac{π}{2}}}{2}

= - \frac{i e ^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{i}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Raggruppare la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso

= (- \frac{e ^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}) i

- \frac{e ^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{1}{2 e ^{\frac{π}{2}}} = \frac{- e ^{π} + 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

- \frac{e ^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Minimo Comune Multiplo di

2, 2 e^{\frac{π}{2}} : 2 e^{\frac{π}{2}}

2, 2 e^{\frac{π}{2}}

Minimo comune multiplo (mcm)

Minimo Comune Multiplo di

2, 2 : 2

2, 2

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Fattorizzazione prima di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 2 o 2

= 2

Moltiplica i numeri:

2 = 2

= 2

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

2

2 e^{\frac{π}{2}}

= 2 e^{\frac{π}{2}}

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

2 e^{\frac{π}{2}}

Per

\frac{e ^{\frac{π}{2}}}{2} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

e^{\frac{π}{2}}

\frac{e ^{\frac{π}{2}}}{2} = \frac{e ^{\frac{π}{2}} e ^{\frac{π}{2}}}{2 e ^{\frac{π}{2}}} = \frac{e ^{π}}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

= - \frac{e ^{π}}{2 e ^{\frac{π}{2}}} + \frac{1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- e ^{π} + 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

= \frac{- e ^{π} + 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}} i

= \frac{- e ^{π} + 1}{2 e ^{\frac{π}{2}}} i

= i \frac{1 - e ^{π}}{2 e ^{\frac{π}{2}}}

Esempi popolari

5sin(53)

5 sin (5 3^{\circ})

arccos(1/14)

arccos (\frac{1}{14})

arctan((2.55)/(9.8)+0.5)

arctan (\frac{2.55}{9.8} + 0.5)

sec(18)tan(18)cos(18)cot(18)

sec (1 8^{\circ}) tan (1 8^{\circ}) cos (1 8^{\circ}) cot (1 8^{\circ})

3csc(60)-cot(30)

3 csc (6 0^{\circ}) - cot (3 0^{\circ})