English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

sin(x)<= sin^2(x)<= (sqrt(3))/2 sin(x)

الحلّ

sin (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

الحلّ

x = π + 2 πn

عشري

x = 3.14159 \dots + 2 πn

خطوات الحلّ

sin (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

a \leq u and u \leq b

إذًا

a \leq u \leq b

إذا تحقّق أنّ

sin (x) \leq sin^{2} (x) and sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

sin (x) \leq sin^{2} (x) : x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \leq sin^{2} (x)

u = sin (x) :

على افتراض أنّ

u \leq u^{2}

u \leq u^{2} : u \leq 0 or u \geq 1

u \leq u^{2}

Rewrite in standard form

u \leq u^{2}

من الطرفين

u^{2}

اطرح

u - u^{2} \leq u^{2} - u^{2}

بسّط

u - u^{2} \leq 0

u - u^{2} \leq 0

u - u^{2}

حلل إلى عوامل:

- u (u - 1)

u - u^{2}

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:فعّل قانون القوى

u^{2} = uu

= - uu + u

- u

قم باخراج العامل المشترك

= - u (u - 1)

- u (u - 1) \leq 0

Multiply both sides by

- 1

(reverse the inequality)

(- u (u - 1)) (- 1) \geq 0 \cdot (- 1)

بسّط

u (u - 1) \geq 0

ميّز المقاطع المختلفة

u (u - 1)

:جد إشارة كل واحد من عوامل

u

:جد إشارة

u = 0

u < 0

u > 0

u - 1

:جد إشارة

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 < 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 < 0 + 1

بسّط

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 > 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 > 0 + 1

بسّط

u > 1

u > 1

لخّص في جدول

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

\geq 0 :

ميّز المقاطع التي تحقّق الشرط

u < 0 or u = 0 or u = 1 or u > 1

ادمج المجالات المتطابقة

u \leq 0 or u = 1 or u > 1

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

u < 0

או

u = 0

u \leq 0

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

u \leq 0

או

u = 1

u \leq 0 or u = 1

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

u \leq 0 or u = 1

או

u > 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u = sin (x)

استبدل مجددًا

sin (x) \leq 0 or sin (x) \geq 1

sin (x) \leq 0 : - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \leq 0

For

sin (x) \leq a

, if

- 1 < a < 1

then

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq arcsin (0) + 2 πn

- π - arcsin (0)

بسّط:

- π

- π - arcsin (0)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

arcsin (0)

بسّط:

0

arcsin (0)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn \leq x \leq 0 + 2 πn

بسّط

- π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \geq 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \geq 1

For

sin (x) \geq a

, if

- 1 < a < 1

then

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (1) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (1) + 2 πn

arcsin (1)

بسّط:

\frac{π}{2}

arcsin (1)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

π - arcsin (1)

بسّط:

\frac{π}{2}

π - arcsin (1)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{2}

بسّط

π - \frac{π}{2}

π = \frac{π 2}{2}

:حوّل الأعداد لكسور

= \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{π 2 - π}{2}

2 π - π = π :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

بسّط

x = \frac{π}{2} + 2 πn

وحّد المقاطع

- π + 2 πn \leq x \leq 2 πn or x = \frac{π}{2} + 2 πn

ادمج المجالات المتطابقة

x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x) : 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

u = sin (x) :

على افتراض أنّ

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

u^{2} \leq \frac{3}{2} u : 0 \leq u \leq \frac{3}{2}

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

Rewrite in standard form

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

من الطرفين

\frac{3}{2} u

اطرح

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq \frac{3}{2} u - \frac{3}{2} u

بسّط

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq 0

2

اضرب الطرفين بـ

u^{2} \cdot 2 - \frac{3}{2} u \cdot 2 \leq 0 \cdot 2

2 u^{2} - 3 u \leq 0

2 u^{2} - 3 u \leq 0

2 u^{2} - 3 u

حلل إلى عوامل:

u (2 u - 3)

2 u^{2} - 3 u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:فعّل قانون القوى

u^{2} = uu

= 2 uu - 3 u

u

قم باخراج العامل المشترك

= u (2 u - 1 \cdot 2 3)

1 \cdot 2 = 2 :

اضرب الأعداد

= u (2 u - 3)

u (2 u - 3) \leq 0

ميّز المقاطع المختلفة

u (2 u - 3)

:جد إشارة كل واحد من عوامل

u

:جد إشارة

u = 0

u < 0

u > 0

2 u - 3

:جد إشارة

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

انقل

3

إلى الجانب الأيمن

2 u - 3 = 0

للطرفين

3

أضف

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

بسّط

2 u = 3

2 u = 3

2

اقسم الطرفين على

2 u = 3

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

بسّط

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

انقل

3

إلى الجانب الأيمن

2 u - 3 < 0

للطرفين

3

أضف

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

بسّط

2 u < 3

2 u < 3

2

اقسم الطرفين على

2 u < 3

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

بسّط

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

انقل

3

إلى الجانب الأيمن

2 u - 3 > 0

للطرفين

3

أضف

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

بسّط

2 u > 3

2 u > 3

2

اقسم الطرفين على

2 u > 3

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

بسّط

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

لخّص في جدول

u 2 u - 3 u (2 u - 3) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

\leq 0 :

ميّز المقاطع التي تحقّق الشرط

u = 0 or 0 < u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

ادمج المجالات المتطابقة

0 \leq u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

u = 0

או

0 < u < \frac{3}{2}

0 \leq u < \frac{3}{2}

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

0 \leq u < \frac{3}{2}

או

u = \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

u = sin (x)

استبدل مجددًا

0 \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

a \leq u and u \leq b

إذًا

a \leq u \leq b

إذا تحقّق أنّ

0 \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

0 \leq sin (x) : 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

0 \leq sin (x)

بدّل الأطراف

sin (x) \geq 0

For

sin (x) \geq a

, if

- 1 < a < 1

then

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (0) + 2 πn

arcsin (0)

بسّط:

0

arcsin (0)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

π - arcsin (0)

بسّط:

π

π - arcsin (0)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

بسّط

2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2} : - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2}

For

sin (x) \leq a

, if

- 1 < a < 1

then

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{3}{2})

بسّط:

- \frac{4 π}{3}

- π - arcsin (\frac{3}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{3}

بسّط

- π - \frac{π}{3}

π = \frac{π 3}{3}

:حوّل الأعداد لكسور

= - \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{- π 3 - π}{3}

- 3 π - π = - 4 π :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{- 4 π}{3}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{4 π}{3}

= - \frac{4 π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

بسّط:

\frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

وحّد المقاطع

2 πn \leq x \leq π + 2 πn and - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

ادمج المجالات المتطابقة

2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

وحّد المقاطع

(x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn) and (2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn)

ادمج المجالات المتطابقة

x = π + 2 πn

أمثلة شائعة

-1<= cos(x-pi/4)<= 1

- 1 \leq cos (x - \frac{π}{4}) \leq 1

sin(θ)=13\land 0<θ<pi^2,2θ

sin (θ) = 13 and 0 < θ < π^{2}, 2 θ

sin(7)(x)<sin(2)(x)+cos(7)(x)<cos(2)(x)

sin (7) (x) < sin (2) (x) + cos (7) (x) < cos (2) (x)

0<sin(x)<1

0 < sin (x) < 1

tan(θ)=-5/2 \land cos(θ)<0

tan (θ) = - \frac{5}{2} and cos (θ) < 0