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Populaire Trigonométrie >

2cos^2(x)+sin(x)>2

Solution

2 cos^{2} (x) + sin (x) > 2

Solution

2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < π + 2 πn

La notation des intervalles

(2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{6} + 2 πn, π + 2 πn)

Décimale

2 πn < x < 0.52359 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn

étapes des solutions

2 cos^{2} (x) + sin (x) > 2

Utiliser les identités suivantes:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Par conséquent

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

2 (1 - sin^{2} (x)) + sin (x) > 2

Soit :

u = sin (x)

2 (1 - u^{2}) + u > 2

2 (1 - u^{2}) + u > 2 : 0 < u < \frac{1}{2}

2 (1 - u^{2}) + u > 2

Récrire sous la forme standard

2 (1 - u^{2}) + u > 2

Développer

2 (1 - u^{2}) + u : 2 - 2 u^{2} + u

2 (1 - u^{2}) + u

Développer

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= 2 - 2 u^{2} + u

2 - 2 u^{2} + u > 2

Soustraire

2

des deux côtés

2 - 2 u^{2} + u - 2 > 2 - 2

Simplifier

- 2 u^{2} + u > 0

- 2 u^{2} + u > 0

Factoriser

- 2 u^{2} + u : - u (2 u - 1)

- 2 u^{2} + u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - 2 uu + u

Factoriser le terme commun

- u

= - u (2 u - 1)

- u (2 u - 1) > 0

Multiplier les deux côtés par

- 1

(inverser l'inégalité)

(- u (2 u - 1)) (- 1) < 0 \cdot (- 1)

Simplifier

u (2 u - 1) < 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

u (2 u - 1)

Trouver les signes de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Trouver les signes de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

2 u = 1

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

2 u < 1

2 u < 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u < 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplifier

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

2 u > 1

2 u > 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u > 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplifier

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Récapituler dans un tableau:

u 2 u - 1 u (2 u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < \frac{1}{2} + - - u = \frac{1}{2} + 00 u > \frac{1}{2} + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

< 0

0 < u < \frac{1}{2}

0 < u < \frac{1}{2}

0 < u < \frac{1}{2}

Remplacer

u = sin (x)

0 < sin (x) < \frac{1}{2}

a < u < b

alors

a < u and u < b

0 < sin (x) and sin (x) < \frac{1}{2}

0 < sin (x) : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x)

Transposer les termes des côtés

sin (x) > 0

Pour

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

Simplifier

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Simplifier

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

Simplifier

2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) < \frac{1}{2} : - \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) < \frac{1}{2}

Pour

sin (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

alors

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplifier

- π - arcsin (\frac{1}{2}) : - \frac{7 π}{6}

- π - arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6}

Simplifier

- π - \frac{π}{6}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 - π}{6}

Additionner les éléments similaires :

- 6 π - π = - 7 π

= \frac{- 7 π}{6}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7 π}{6}

= - \frac{7 π}{6}

Simplifier

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

Réunir les intervalles

2 πn < x < π + 2 πn and - \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < π + 2 πn

Exemples populaires

0.5<= sin(30t)

0.5 \leq sin (30 t)

sin(x)-sqrt(3)cos(x)>sqrt(2)

sin (x) - 3 cos (x) > 2

cos(x)<1+sin(x)

cos (x) < 1 + sin (x)

cos(x)-sin(x)<= 0

cos (x) - sin (x) \leq 0

3>4+sin(n)

3 > 4 + sin (n)