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Popolare Trigonometria >

-cos(x)>=-sin(2x)

Soluzione

- cos (x) \geq - sin (2 x)

Soluzione

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{2} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn] \cup [\frac{5 π}{6} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn]

Decimale

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.57079 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn \leq x \leq 4.71238 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

- cos (x) \geq - sin (2 x)

Moltiplicare entrambi i lati per

- 1

(invertire l'ineguaglianza)

(- cos (x)) (- 1) \leq (- sin (2 x)) (- 1)

Semplificare

cos (x) \leq sin (2 x)

Spostare

sin (2 x)

a sinistra dell'equazione

cos (x) \leq sin (2 x)

Sottrarre

sin (2 x)

da entrambi i lati

cos (x) - sin (2 x) \leq sin (2 x) - sin (2 x)

cos (x) - sin (2 x) \leq 0

cos (x) - sin (2 x) \leq 0

Usare l'identità seguente:

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

cos (x) - 2 cos (x) sin (x) \leq 0

Periodicità di

cos (x) - 2 cos (x) sin (x) : 2 π

La periodicità composta della somma di funzioni periodiche è il minimo comune multiplo dei periodi

cos (x), 2 cos (x) sin (x)

Periodicità di

cos (x) : 2 π

Periodicità di

cos (x)

2 π

= 2 π

Periodicità di

2 cos (x) sin (x) : π

2 cos (x) sin (x)

è composta dalle seguenti funzioni e periodi:

cos (x)

con periodicità di

2 π

La periodicità composta è:

π

Combine periodi:

2 π, π

= 2 π

Fattorizza

cos (x) - 2 cos (x) sin (x) : - cos (x) (2 sin (x) - 1)

cos (x) - 2 cos (x) sin (x)

Fattorizzare dal termine comune

- cos (x)

= - cos (x) (- 1 + 2 sin (x))

- cos (x) (2 sin (x) - 1) \leq 0

Per trovare gli zeri, imposta l'ineguaglianza a zero

- cos (x) (2 sin (x) - 1) = 0

Risolvi

- cos (x) (2 sin (x) - 1) = 0

per

0 \leq x < 2 π

- cos (x) (2 sin (x) - 1) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} or x = \frac{3 π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Soluzioni generali per

cos (x) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

2 sin (x) - 1 = 0 : x = \frac{π}{6} or x = \frac{5 π}{6}

2 sin (x) - 1 = 0, 0 \leq x < 2 π

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 sin (x) - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 sin (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

2 sin (x) = 1

2 sin (x) = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (x) = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

Combinare tutte le soluzioni

\frac{π}{6} or \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} or \frac{3 π}{2}

Gli intervalli tra gli zeri

0 < x < \frac{π}{6}, \frac{π}{6} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π

Riassumere in una tabella:

cos (x) 2 sin (x) - 1 - cos (x) (2 sin (x) - 1) x = 0 + - + 0 < x < \frac{π}{6} + - + x = \frac{π}{6} + 00 \frac{π}{6} < x < \frac{π}{2} + + - x = \frac{π}{2} 0 + 0 \frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{6} - + + x = \frac{5 π}{6} - 00 \frac{5 π}{6} < x < \frac{3 π}{2} - - - x = \frac{3 π}{2} 0 - 0 \frac{3 π}{2} < x < 2 π + - + x = 2 π + - +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\leq 0

x = \frac{π}{6} or \frac{π}{6} < x < \frac{π}{2} or x = \frac{π}{2} or x = \frac{5 π}{6} or \frac{5 π}{6} < x < \frac{3 π}{2} or x = \frac{3 π}{2}

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} \leq x < \frac{3 π}{2} or x = \frac{3 π}{2}