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Popolare Trigonometria >

2sin^2(x)+3sin(x)>= 2,0<= x<= 2pi

Soluzione

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) \geq 2, 0 \leq x \leq 2 π

Soluzione

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

Notazione dell’intervallo

[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]

Decimale

0.52359 \dots \leq x \leq 2.61799 \dots

Fasi della soluzione

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) \geq 2, 0 \leq x \leq 2 π

Sia:

u = sin (x)

2 u^{2} + 3 u \geq 2

2 u^{2} + 3 u \geq 2 : u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

2 u^{2} + 3 u \geq 2

Riscrivere in forma standard

2 u^{2} + 3 u \geq 2

Sottrarre

2

da entrambi i lati

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 2 - 2

Semplificare

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 0

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 0

Fattorizza

2 u^{2} + 3 u - 2 : (2 u - 1) (u + 2)

2 u^{2} + 3 u - 2

Suddividere l'espressione in gruppi

2 u^{2} + 3 u - 2

Definizione

Fattori di

4 : 1, 2, 4

4

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

4 : 2, 2

4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

2

è un numero primo, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2

Aggiungi i fattori primi:

2

Aggiungi 1 al numero

4

stesso

1, 4

I fattori di

4

1, 2, 4

Fattori negativi di

4 : - 1, - 2, - 4

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2, - 4

Per ogni due fattori tali che

u * v = - 4,

controllare se

u + v = 3

Verifica

u = 1, v = - 4 : u * v = - 4, u + v = - 3 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = 2, v = - 2 : u * v = - 4, u + v = 0 \Rightarrow

Falso

u = 4, v = - 1

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (4 u - 2)

= (2 u^{2} - u) + (4 u - 2)

Fattorizza

u

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (2 u - 1)

Fattorizza

2

4 u - 2 : 2 (2 u - 1)

4 u - 2

Riscrivi

4

come

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 u - 2

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1)

Fattorizzare dal termine comune

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 2)

(2 u - 1) (u + 2) \geq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

(2 u - 1) (u + 2)

Trova i segni di

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

2 u = 1

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

2 u < 1

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Semplificare

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

2 u > 1

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Semplificare

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Trova i segni di

u + 2

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Spostare

2

a destra dell'equazione

u + 2 = 0

Sottrarre

2

da entrambi i lati

u + 2 - 2 = 0 - 2

Semplificare

u = - 2

u = - 2

u + 2 < 0 : u < - 2

u + 2 < 0

Spostare

2

a destra dell'equazione

u + 2 < 0

Sottrarre

2

da entrambi i lati

u + 2 - 2 < 0 - 2

Semplificare

u < - 2

u < - 2

u + 2 > 0 : u > - 2

u + 2 > 0

Spostare

2

a destra dell'equazione

u + 2 > 0

Sottrarre

2

da entrambi i lati

u + 2 - 2 > 0 - 2

Semplificare

u > - 2

u > - 2

Riassumere in una tabella:

2 u - 1 u + 2 (2 u - 1) (u + 2) u < - 2 - - + u = - 2 - 00 - 2 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\geq 0

u < - 2 or u = - 2 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

Unire gli intervalli sovrapposti

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u < - 2

u = - 2

u \leq - 2

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u \leq - 2

u = \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) \leq - 2 or sin (x) \geq \frac{1}{2}

sin (x) \leq - 2 :

Falso per tutti

x \in R

sin (x) \leq - 2

Intervallo di

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq - 2 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Lasciare

y = sin (x)

Combina gli intervalli

y \leq - 2 and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y \leq - 2 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y \leq - 2

- 1 \leq y \leq 1

Falso per tutti y \in R

Falso per tutti y \in R

Nessuna soluzione per x \in R

Falso per tutti x \in R

sin (x) \geq \frac{1}{2} : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \geq \frac{1}{2}

Per

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Semplificare

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Semplificare

π - \frac{π}{6}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Aggiungi elementi simili:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combina gli intervalli

Falso per tutti x \in R or \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combina gli intervalli

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and 0 \leq x \leq 2 π

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

Grafico

Esempi popolari

sin(x)+cos(x)>1

sin (x) + cos (x) > 1

sin(x)<-(sqrt(2))/2

sin (x) < - \frac{2}{2}

cos(x)-sin(x)+1>= 0

cos (x) - sin (x) + 1 \geq 0

tan(x)>\sqrt[4]{5}

tan (x) > 45

3tan(x)<-3

3 tan (x) < - 3