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Beliebt Trigonometrie >

-12cos(2x)+12sin(x)>0

Lösung

- 12 cos (2 x) + 12 sin (x) > 0

Lösung

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Intervall-Notation

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn)

Dezimale

0.52359 \dots + 2 πn < x < 2.61799 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

- 12 cos (2 x) + 12 sin (x) > 0

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

- 12 (1 - 2 sin^{2} (x)) + 12 sin (x) > 0

Angenommen:

u = sin (x)

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0 : u < - 1 or u > \frac{1}{2}

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0

Rewrite in standard form

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0

Multipliziere aus

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u : - 12 + 24 u^{2} + 12 u

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u

Multipliziere aus

- 12 (1 - 2 u^{2}) : - 12 + 24 u^{2}

- 12 (1 - 2 u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 12, b = 1, c = 2 u^{2}

= - 12 \cdot 1 - (- 12) \cdot 2 u^{2}

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 12 \cdot 1 + 12 \cdot 2 u^{2}

Vereinfache

- 12 \cdot 1 + 12 \cdot 2 u^{2} : - 12 + 24 u^{2}

- 12 \cdot 1 + 12 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

12 \cdot 1 = 12

= - 12 + 12 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

12 \cdot 2 = 24

= - 12 + 24 u^{2}

= - 12 + 24 u^{2}

= - 12 + 24 u^{2} + 12 u

- 12 + 24 u^{2} + 12 u > 0

Teile beide Seiten durch

12

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} > \frac{0}{12}

Fasse

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} > \frac{0}{12}

zusammen:

2 u^{2} + u - 1 > 0

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} > \frac{0}{12}

Vereinfache

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} : 2 u^{2} + u - 1

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

\frac{12}{12} = 1

= - 1 + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12}

Teile die Zahlen:

\frac{24}{12} = 2

= - 1 + 2 u^{2} + \frac{12 u}{12}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{12} = 1

= - 1 + 2 u^{2} + u

Rewrite in standard form

= 2 u^{2} + u - 1

\frac{0}{12} = 0

\frac{0}{12}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

2 u^{2} + u - 1 > 0

2 u^{2} + u - 1 > 0

2 u^{2} + u - 1 > 0

Faktorisiere

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

2 u^{2} + u - 1

Definition

Faktoren von

2 : 1, 2

2

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Addiere 1

1

Die Faktoren von

2

1, 2

Negative Faktoren von

2 : - 1, - 2

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 2,

prüfe, ob

u + v = 1

Prüfe

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Wahr

u = 2, v = - 1

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Klammere

u

aus

2 u^{2} - u

aus

: u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

(2 u - 1) (u + 1) > 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(2 u - 1) (u + 1)

Finde die Vorzeichen von

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 u = 1

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

2 u < 1

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Vereinfache

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

2 u > 1

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Vereinfache

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Finde die Vorzeichen von

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

u > - 1

u > - 1

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

> 0

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) < - 1 or sin (x) > \frac{1}{2}

sin (x) < - 1 :

Falsch für alle

x \in R

sin (x) < - 1

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y < - 1

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

sin (x) > \frac{1}{2} : \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) > \frac{1}{2}

Für

sin (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Vereinfache

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Vereinfache

π - \frac{π}{6}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R or \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Beliebte Beispiele

(-1/5)*sin(2 pi/5 (x+1))+1<= 16/15

(- \frac{1}{5}) \cdot sin (2 \frac{π}{5} (x + 1)) + 1 \leq \frac{16}{15}

cos(x)>=-(sqrt(2))/2

cos (x) \geq - \frac{2}{2}

3sin(t)>= 0

3 sin (t) \geq 0

2sin(2x)+1/2 <= 1/2

2 sin (2 x) + \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}

3tan^2(x)>1

3 tan^{2} (x) > 1