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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)+cos(x)>= 1

Lösung

sin^{2} (x) + cos (x) \geq 1

Lösung

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Intervall-Notation

[- \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn]

Dezimale

- 1.57079 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.57079 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) + cos (x) \geq 1

Verwende die folgenden Identitäten:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Deshalb

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) + cos (x) \geq 1

Angenommen:

u = cos (x)

1 - u^{2} + u \geq 1

1 - u^{2} + u \geq 1 : 0 \leq u \leq 1

1 - u^{2} + u \geq 1

Rewrite in standard form

1 - u^{2} + u \geq 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - u^{2} + u - 1 \geq 1 - 1

Vereinfache

- u^{2} + u \geq 0

- u^{2} + u \geq 0

Faktorisiere

- u^{2} + u : - u (u - 1)

- u^{2} + u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

Klammere gleiche Terme aus

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) \geq 0

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

(drehe die Ungleichung um)

(- u (u - 1)) (- 1) \leq 0 \cdot (- 1)

Vereinfache

u (u - 1) \leq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

u (u - 1)

Finde die Vorzeichen von

u

u = 0

u < 0

u > 0

Finde die Vorzeichen von

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

u > 1

u > 1

Fasse in einer Tabelle zusammen:

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

u = 0 or 0 < u < 1 or u = 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

0 \leq u < 1 or u = 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u = 0

oder

0 < u < 1

0 \leq u < 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

0 \leq u < 1

oder

u = 1

0 \leq u \leq 1

0 \leq u \leq 1

0 \leq u \leq 1

0 \leq u \leq 1

Setze in

u = cos (x)

ein

0 \leq cos (x) \leq 1

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

0 \leq cos (x) and cos (x) \leq 1

0 \leq cos (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

0 \leq cos (x)

Tausche die Seiten

cos (x) \geq 0

Für

cos (x) \geq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn \leq x \leq arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

Vereinfache

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) \leq 1 :

Wahr für alle

x \in R

cos (x) \leq 1

Bereich von

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

cos

function is

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \leq 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Angenommen

y = cos (x)

Kombiniere die Bereiche

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \leq 1

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Beliebte Beispiele

cos(x)>= (sqrt(3))/2

cos (x) \geq \frac{3}{2}

cos(x)-1>= 0

cos (x) - 1 \geq 0

2sin(x/2)-1>0

2 sin (\frac{x}{2}) - 1 > 0

sin(3x)<(sqrt(2))/2

sin (3 x) < \frac{2}{2}

sin(2x-pi/(12))<= (sqrt(2))/2

sin (2 x - \frac{π}{12}) \leq \frac{2}{2}