English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

2sin^2(x)+3sin(x)+1<0

Решение

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) + 1 < 0

Решение

\frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{11 π}{6} + 2 πn

Обозначение интервала

(\frac{7 π}{6} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, \frac{11 π}{6} + 2 πn)

десятичными цифрами

3.66519 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < x < 5.75958 \dots + 2 πn

Шаги решения

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) + 1 < 0

Допустим:

u = sin (x)

2 u^{2} + 3 u + 1 < 0

2 u^{2} + 3 u + 1 < 0 : - 1 < u < - \frac{1}{2}

2 u^{2} + 3 u + 1 < 0

коэффициент

2 u^{2} + 3 u + 1 : (2 u + 1) (u + 1)

2 u^{2} + 3 u + 1

Разбейте выражение на группы

2 u^{2} + 3 u + 1

Определение

Множители

2 : 1, 2

2

Делители (множители)

Найдите простые множители

2 : 2

2

2

является простым числом, поэтому разложение на множители невозможно

= 2

Добавьте 1

1

Факторы

2

1, 2

Для каждых двух множителей таких, как

u * v = 2,

проверьте, если

u + v = 3

Проверьте

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

Верно

u = 1, v = 2

Сгруппируйте в

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (2 u + 1)

= (2 u^{2} + u) + (2 u + 1)

Вынести

u

из

2 u^{2} + u : u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Убрать общее значение

u

= u (2 u + 1)

= u (2 u + 1) + (2 u + 1)

Убрать общее значение

2 u + 1

= (2 u + 1) (u + 1)

(2 u + 1) (u + 1) < 0

Определите интервалы

Найдите знаки множителей

(2 u + 1) (u + 1)

Найдите признаки

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Переместите

1

вправо

2 u + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

2 u = - 1

2 u = - 1

Разделите обе стороны на

2

2 u = - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Переместите

1

вправо

2 u + 1 < 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

После упрощения получаем

2 u < - 1

2 u < - 1

Разделите обе стороны на

2

2 u < - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Переместите

1

вправо

2 u + 1 > 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

После упрощения получаем

2 u > - 1

2 u > - 1

Разделите обе стороны на

2

2 u > - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Найдите признаки

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Переместите

1

вправо

u + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

u + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Переместите

1

вправо

u + 1 < 0

Вычтите

1

с обеих сторон

u + 1 - 1 < 0 - 1

После упрощения получаем

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Переместите

1

вправо

u + 1 > 0

Вычтите

1

с обеих сторон

u + 1 - 1 > 0 - 1

После упрощения получаем

u > - 1

u > - 1

Свести в таблицу:

2 u + 1 u + 1 (2 u + 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < - \frac{1}{2} - + - u = - \frac{1}{2} 0 + 0 u > - \frac{1}{2} + + +

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

< 0

- 1 < u < - \frac{1}{2}

- 1 < u < - \frac{1}{2}

- 1 < u < - \frac{1}{2}

Делаем обратную замену

u = sin (x)

- 1 < sin (x) < - \frac{1}{2}

Если

a < u < b,

то

a < u and u < b

- 1 < sin (x) and sin (x) < - \frac{1}{2}

- 1 < sin (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

- 1 < sin (x)

Поменяйте стороны

sin (x) > - 1

Для

sin (x) > a

, если

- 1 \leq a < 1

, то

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- 1) + 2 πn < x < π - arcsin (- 1) + 2 πn

Упростите

arcsin (- 1) : - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

Используйте следующее свойство:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

Упростите

π - arcsin (- 1) : \frac{3 π}{2}

π - arcsin (- 1)

arcsin (- 1) = - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

Используйте следующее свойство:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

= π - (- \frac{π}{2})

После упрощения получаем

π - (- \frac{π}{2})

Примените правило

- (- a) = a

= π + \frac{π}{2}

Преобразуйте элемент в дробь:

π = \frac{π 2}{2}

= \frac{π 2}{2} + \frac{π}{2}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 + π}{2}

Добавьте похожие элементы:

2 π + π = 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) < - \frac{1}{2} : - \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) < - \frac{1}{2}

Для

sin (x) < a

, если

- 1 < a \leq 1

, то

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn < x < arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Упростите

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{5 π}{6}

- π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Используйте следующее свойство:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6})

После упрощения получаем

- π - (- \frac{π}{6})

Примените правило

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6}

Преобразуйте элемент в дробь:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{6}

Добавьте похожие элементы:

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{6}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{6}

= - \frac{5 π}{6}

Упростите

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Используйте следующее свойство:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

Объедините интервалы

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn and - \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

\frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{11 π}{6} + 2 πn

2sin^2(x)+3sin(x)+1<0

Решение

Решение

Популярные примеры