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sin(x)<= cos(x)

Solução

sin (x) \leq cos (x)

Solução

- \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

Notação de intervalo

[- \frac{3 π}{4} + 2 πn, \frac{π}{4} + 2 πn]

Decimal

- 2.35619 \dots + 2 πn \leq x \leq 0.78539 \dots + 2 πn

Passos da solução

sin (x) \leq cos (x)

Mova

cos (x)

para o lado esquerdo

sin (x) \leq cos (x)

Subtrair

cos (x)

de ambos os lados

sin (x) - cos (x) \leq cos (x) - cos (x)

sin (x) - cos (x) \leq 0

sin (x) - cos (x) \leq 0

Usar a seguinte identidade:

- cos (x) + sin (x) = - 2 cos (\frac{π}{4} + x)

- 2 cos (\frac{π}{4} + x) \leq 0

Multiplicar ambos os lados por

- 1

- 2 cos (\frac{π}{4} + x) \leq 0

Multiplicar ambos os lados por -1 (inverte a desigualdade)

(- 2 cos (\frac{π}{4} + x)) (- 1) \geq 0 \cdot (- 1)

Simplificar

2 cos (\frac{π}{4} + x) \geq 0

2 cos (\frac{π}{4} + x) \geq 0

Dividir ambos os lados por

2

2 cos (\frac{π}{4} + x) \geq 0

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 cos ( \frac{π}{4} + x )}{2} \geq \frac{0}{2}

Simplificar

cos (\frac{π}{4} + x) \geq 0

cos (\frac{π}{4} + x) \geq 0

Para

cos (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

então

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn \leq (\frac{π}{4} + x) \leq arccos (0) + 2 πn

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

- arccos (0) + 2 πn \leq \frac{π}{4} + x and \frac{π}{4} + x \leq arccos (0) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn \leq \frac{π}{4} + x : x \geq 2 πn - \frac{3 π}{4}

- arccos (0) + 2 πn \leq \frac{π}{4} + x

Trocar lados

\frac{π}{4} + x \geq - arccos (0) + 2 πn

Simplificar

- arccos (0) + 2 πn : - \frac{π}{2} + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{π}{4} + x \geq - \frac{π}{2} + 2 πn

Mova

\frac{π}{4}

para o lado direito

\frac{π}{4} + x \geq - \frac{π}{2} + 2 πn

Subtrair

\frac{π}{4}

de ambos os lados

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} \geq - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} \geq - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} : x

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}

Somar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} \geq 0

= x

Simplificar

- \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn - \frac{3 π}{4}

- \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar termos semelhantes

= 2 πn - \frac{π}{2} - \frac{π}{4}

Mínimo múltiplo comum de

2, 4 : 4

2, 4

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Decomposição em fatores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

2

ou em

4

= 2 \cdot 2

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{π}{2} :

multiplique o numerador e o denominador por

2

\frac{π}{2} = \frac{π 2}{2 \cdot 2} = \frac{π 2}{4}

= - \frac{π 2}{4} - \frac{π}{4}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 - π}{4}

Somar elementos similares:

- 2 π - π = - 3 π

= \frac{- 3 π}{4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= 2 πn - \frac{3 π}{4}

x \geq 2 πn - \frac{3 π}{4}

x \geq 2 πn - \frac{3 π}{4}

x \geq 2 πn - \frac{3 π}{4}

\frac{π}{4} + x \leq arccos (0) + 2 πn : x \leq 2 πn + \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + x \leq arccos (0) + 2 πn

Simplificar

arccos (0) + 2 πn : \frac{π}{2} + 2 πn

arccos (0) + 2 πn

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{π}{4} + x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Mova

\frac{π}{4}

para o lado direito

\frac{π}{4} + x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Subtrair

\frac{π}{4}

de ambos os lados

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} \leq \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} \leq \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} : x

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}

Somar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} \leq 0

= x

Simplificar

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{π}{4}

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar termos semelhantes

= 2 πn + \frac{π}{2} - \frac{π}{4}

Mínimo múltiplo comum de

2, 4 : 4

2, 4

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Decomposição em fatores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

2

ou em

4

= 2 \cdot 2

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{π}{2} :

multiplique o numerador e o denominador por

2

\frac{π}{2} = \frac{π 2}{2 \cdot 2} = \frac{π 2}{4}

= \frac{π 2}{4} - \frac{π}{4}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π}{4}

Somar elementos similares:

2 π - π = π

= 2 πn + \frac{π}{4}

x \leq 2 πn + \frac{π}{4}

x \leq 2 πn + \frac{π}{4}

x \leq 2 πn + \frac{π}{4}

Combinar os intervalos

x \geq 2 πn - \frac{3 π}{4} and x \leq 2 πn + \frac{π}{4}

Junte intervalos que se sobrepoem

- \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

Exemplos populares

sin(2x)<=-(sqrt(3))/2

sin (2 x) \leq - \frac{3}{2}

sin(2x)> 1/2

sin (2 x) > \frac{1}{2}

tan(x)<=-1

tan (x) \leq - 1

sin(x)<0.5

sin (x) < 0.5

sin(x)>(sqrt(2))/2

sin (x) > \frac{2}{2}