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1/(sin^2(x))-1/(cos^2(x))>= 8/3

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Solução

sin2(x)1​−cos2(x)1​≥38​

Solução

2πn<x≤6π​+2πnor65π​+2πn≤x<π+2πnorπ+2πn<x≤67π​+2πnor611π​+2πn≤x<2π+2πn
+2
Notação de intervalo
(2πn,6π​+2πn]∪[65π​+2πn,π+2πn)∪(π+2πn,67π​+2πn]∪[611π​+2πn,2π+2πn)
Decimal
2πn<x≤0.52359…+2πnor2.61799…+2πn≤x<3.14159…+2πnor3.14159…+2πn<x≤3.66519…+2πnor5.75958…+2πn≤x<6.28318…+2πn
Passos da solução
sin2(x)1​−cos2(x)1​≥38​
Usar a seguinte identidade: cos2(x)+sin2(x)=1Portantocos2(x)=1−sin2(x)sin2(x)1​−1−sin2(x)1​≥38​
Sea: v=sin(x)v21​−1−v21​≥38​
v21​−1−v21​≥38​:−23​​≤v<−1or−21​≤v<0or0<v≤21​or1<v≤23​​
v21​−1−v21​≥38​
Reescrever na forma geral
v21​−1−v21​≥38​
Subtrair 38​ de ambos os ladosv21​−1−v21​−38​≥38​−38​
Simplificarv21​−1−v21​−38​≥0
Simplificar v21​−1−v21​−38​:3v2(v+1)(v−1)−8v4+14v2−3​
v21​−1−v21​−38​
Fatorar −v2+1:−(v+1)(v−1)
−v2+1
Fatorar o termo comum −1=−(v2−1)
Fatorar v2−1:(v+1)(v−1)
v2−1
Reescrever 1 como 12=v2−12
Aplicar a regra da diferença de quadrados: x2−y2=(x+y)(x−y)v2−12=(v+1)(v−1)=(v+1)(v−1)
=−(v+1)(v−1)
=v21​−−(v+1)(v−1)1​−38​
Mínimo múltiplo comum de v2,−(v+1)(v−1),3:3v2(v+1)(v−1)
v2,−(v+1)(v−1),3
Mínimo múltiplo comum (MMC)
Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes em ao menos uma das expressões fatoradas=3v2(v+1)(v−1)
Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum
Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum
Para v21​:multiplique o numerador e o denominador por 3(v+1)(v−1)v21​=v2⋅3(v+1)(v−1)1⋅3(v+1)(v−1)​=3v2(v+1)(v−1)3(v+1)(v−1)​
Para −(v+1)(v−1)1​:multiplique o numerador e o denominador por −3v2−(v+1)(v−1)1​=(−(v+1)(v−1))(−3v2)1⋅(−3v2)​=3v2(v+1)(v−1)−3v2​
Para 38​:multiplique o numerador e o denominador por v2(v+1)(v−1)38​=3v2(v+1)(v−1)8v2(v+1)(v−1)​
=3v2(v+1)(v−1)3(v+1)(v−1)​−3v2(v+1)(v−1)−3v2​−3v2(v+1)(v−1)8v2(v+1)(v−1)​
Já que os denominadores são iguais, combinar as frações: ca​±cb​=ca±b​=3v2(v+1)(v−1)3(v+1)(v−1)−(−3v2)−8v2(v+1)(v−1)​
Aplicar a regra −(−a)=a=3v2(v+1)(v−1)3(v+1)(v−1)+3v2−8v2(v+1)(v−1)​
Expandir 3(v+1)(v−1)+3v2−8v2(v+1)(v−1):−8v4+14v2−3
3(v+1)(v−1)+3v2−8v2(v+1)(v−1)
Expandir 3(v+1)(v−1):3v2−3
Expandir (v+1)(v−1):v2−1
(v+1)(v−1)
Aplicar a regra da diferença de quadrados: (a+b)(a−b)=a2−b2a=v,b=1=v2−12
Aplicar a regra 1a=112=1=v2−1
=3(v2−1)
Expandir 3(v2−1):3v2−3
3(v2−1)
Colocar os parênteses utilizando: a(b−c)=ab−aca=3,b=v2,c=1=3v2−3⋅1
Multiplicar os números: 3⋅1=3=3v2−3
=3v2−3
=3v2−3+3v2−8v2(v+1)(v−1)
Expandir −8v2(v+1)(v−1):−8v4+8v2
Expandir (v+1)(v−1):v2−1
(v+1)(v−1)
Aplicar a regra da diferença de quadrados: (a+b)(a−b)=a2−b2a=v,b=1=v2−12
Aplicar a regra 1a=112=1=v2−1
=−8v2(v2−1)
Expandir −8v2(v2−1):−8v4+8v2
−8v2(v2−1)
Colocar os parênteses utilizando: a(b−c)=ab−aca=−8v2,b=v2,c=1=−8v2v2−(−8v2)⋅1
Aplicar as regras dos sinais−(−a)=a=−8v2v2+8⋅1⋅v2
Simplificar −8v2v2+8⋅1⋅v2:−8v4+8v2
−8v2v2+8⋅1⋅v2
8v2v2=8v4
8v2v2
Aplicar as propriedades dos expoentes: ab⋅ac=ab+cv2v2=v2+2=8v2+2
Somar: 2+2=4=8v4
8⋅1⋅v2=8v2
8⋅1⋅v2
Multiplicar os números: 8⋅1=8=8v2
=−8v4+8v2
=−8v4+8v2
=−8v4+8v2
=3v2−3+3v2−8v4+8v2
Simplificar 3v2−3+3v2−8v4+8v2:−8v4+14v2−3
3v2−3+3v2−8v4+8v2
Agrupar termos semelhantes=−8v4+3v2+3v2+8v2−3
Somar elementos similares: 3v2+3v2+8v2=14v2=−8v4+14v2−3
=−8v4+14v2−3
=3v2(v+1)(v−1)−8v4+14v2−3​
3v2(v+1)(v−1)−8v4+14v2−3​≥0
Multiplicar ambos os lados por 33v2(v+1)(v−1)3(−8v4+14v2−3)​≥0⋅3
Simplificarv2(v+1)(v−1)−8v4+14v2−3​≥0
v2(v+1)(v−1)−8v4+14v2−3​≥0
Fatorar v2(v+1)(v−1)−8v4+14v2−3​:v2(v+1)(v−1)−(2v+1)(2v−1)(2​v+3​)(2​v−3​)​
v2(v+1)(v−1)−8v4+14v2−3​
Fatorar −8v4+14v2−3:−(2v+1)(2v−1)(2​v+3​)(2​v−3​)
−8v4+14v2−3
Fatorar o termo comum −1=−(8v4−14v2+3)
Fatorar 8v4−14v2+3:(2v+1)(2v−1)(2​v+3​)(2​v−3​)
8v4−14v2+3
Considere u=v2=8u2−14u+3
Fatorar 8u2−14u+3:(4u−1)(2u−3)
8u2−14u+3
Fatorar a expressão
8u2−14u+3
Definição
Fatores de 24:1,2,3,4,6,8,12,24
24
Divisores (fatores)
Encontre os fatores primos de 24:2,2,2,3
24
24dividida por 224=12⋅2=2⋅12
12dividida por 212=6⋅2=2⋅2⋅6
6dividida por 26=3⋅2=2⋅2⋅2⋅3
2,3 são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais=2⋅2⋅2⋅3
Multiplique os fatores primos de 24:4,8,6,12
2⋅2=42⋅2⋅2=8
4,8,6,12
4,8,6,12
Adicione os fatores primos: 2,3
Adicione 1 e o próprio número 241,24
Divisores de 241,2,3,4,6,8,12,24
Fatores negativos de 24:−1,−2,−3,−4,−6,−8,−12,−24
Multiplicar os números por −1 para obter divisores negativos−1,−2,−3,−4,−6,−8,−12,−24
Para cada dois fatores tais que u∗v=24,verifique se u+v=−14
Verifique u=1,v=24:u∗v=24,u+v=25⇒FalsoVerifique u=2,v=12:u∗v=24,u+v=14⇒Falso
u=−2,v=−12
Agrupe em (ax2+ux)+(vx+c)(8u2−2u)+(−12u+3)
=(8u2−2u)+(−12u+3)
Fatorar 2u de 8u2−2u:2u(4u−1)
8u2−2u
Aplicar as propriedades dos expoentes: ab+c=abacu2=uu=8uu−2u
Reescrever 8 como 2⋅4=2⋅4uu−2u
Fatorar o termo comum 2u=2u(4u−1)
Fatorar −3 de −12u+3:−3(4u−1)
−12u+3
Reescrever 12 como 3⋅4=−3⋅4u+3
Fatorar o termo comum −3=−3(4u−1)
=2u(4u−1)−3(4u−1)
Fatorar o termo comum 4u−1=(4u−1)(2u−3)
=(4u−1)(2u−3)
Substituir na equação u=v2=(4v2−1)(2v2−3)
Fatorar 4v2−1:(2v+1)(2v−1)
4v2−1
Reescrever 4v2−1 como (2v)2−12
4v2−1
Reescrever 4 como 22=22v2−1
Reescrever 1 como 12=22v2−12
Aplicar as propriedades dos expoentes: ambm=(ab)m22v2=(2v)2=(2v)2−12
=(2v)2−12
Aplicar a regra da diferença de quadrados: x2−y2=(x+y)(x−y)(2v)2−12=(2v+1)(2v−1)=(2v+1)(2v−1)
=(2v+1)(2v−1)(2v2−3)
Fatorar 2v2−3:(2​v+3​)(2​v−3​)
2v2−3
Reescrever 2v2−3 como (2​v)2−(3​)2
2v2−3
Aplicar as propriedades dos radicais: a=(a​)22=(2​)2=(2​)2v2−3
Aplicar as propriedades dos radicais: a=(a​)23=(3​)2=(2​)2v2−(3​)2
Aplicar as propriedades dos expoentes: ambm=(ab)m(2​)2v2=(2​v)2=(2​v)2−(3​)2
=(2​v)2−(3​)2
Aplicar a regra da diferença de quadrados: x2−y2=(x+y)(x−y)(2​v)2−(3​)2=(2​v+3​)(2​v−3​)=(2​v+3​)(2​v−3​)
=(2v+1)(2v−1)(2​v+3​)(2​v−3​)
=−(2v+1)(2v−1)(2​v+3​)(2​v−3​)
=v2(v+1)(v−1)−(2v+1)(2v−1)(2​v+3​)(2​v−3​)​
v2(v+1)(v−1)−(2v+1)(2v−1)(2​v+3​)(2​v−3​)​≥0
Multiplique ambos os lados por −1 (inverta a desigualdade)v2(v+1)(v−1)(−(2v+1)(2v−1)(2​v+3​)(2​v−3​))(−1)​≤0⋅(−1)
Simplificarv2(v+1)(v−1)(2v+1)(2v−1)(2​v+3​)(2​v−3​)​≤0
Identifique os intervalos
Encontre os sinais dos fatores de v2(v+1)(v−1)(2v+1)(2v−1)(2​v+3​)(2​v−3​)​
Encontre os sinais de 2v+1
2v+1=0:v=−21​
2v+1=0
Mova 1para o lado direito
2v+1=0
Subtrair 1 de ambos os lados2v+1−1=0−1
Simplificar2v=−1
2v=−1
Dividir ambos os lados por 2
2v=−1
Dividir ambos os lados por 222v​=2−1​
Simplificarv=−21​
v=−21​
2v+1<0:v<−21​
2v+1<0
Mova 1para o lado direito
2v+1<0
Subtrair 1 de ambos os lados2v+1−1<0−1
Simplificar2v<−1
2v<−1
Dividir ambos os lados por 2
2v<−1
Dividir ambos os lados por 222v​<2−1​
Simplificarv<−21​
v<−21​
2v+1>0:v>−21​
2v+1>0
Mova 1para o lado direito
2v+1>0
Subtrair 1 de ambos os lados2v+1−1>0−1
Simplificar2v>−1
2v>−1
Dividir ambos os lados por 2
2v>−1
Dividir ambos os lados por 222v​>2−1​
Simplificarv>−21​
v>−21​
Encontre os sinais de 2v−1
2v−1=0:v=21​
2v−1=0
Mova 1para o lado direito
2v−1=0
Adicionar 1 a ambos os lados2v−1+1=0+1
Simplificar2v=1
2v=1
Dividir ambos os lados por 2
2v=1
Dividir ambos os lados por 222v​=21​
Simplificarv=21​
v=21​
2v−1<0:v<21​
2v−1<0
Mova 1para o lado direito
2v−1<0
Adicionar 1 a ambos os lados2v−1+1<0+1
Simplificar2v<1
2v<1
Dividir ambos os lados por 2
2v<1
Dividir ambos os lados por 222v​<21​
Simplificarv<21​
v<21​
2v−1>0:v>21​
2v−1>0
Mova 1para o lado direito
2v−1>0
Adicionar 1 a ambos os lados2v−1+1>0+1
Simplificar2v>1
2v>1
Dividir ambos os lados por 2
2v>1
Dividir ambos os lados por 222v​>21​
Simplificarv>21​
v>21​
Encontre os sinais de 2​v+3​
2​v+3​=0:v=−23​​
2​v+3​=0
Mova 3​para o lado direito
2​v+3​=0
Subtrair 3​ de ambos os lados2​v+3​−3​=0−3​
Simplificar2​v=−3​
2​v=−3​
Dividir ambos os lados por 2​
2​v=−3​
Dividir ambos os lados por 2​2​2​v​=2​−3​​
Simplificar
2​2​v​=2​−3​​
Simplificar 2​2​v​:v
2​2​v​
Eliminar o fator comum: 2​=v
Simplificar 2​−3​​:−23​​
2​−3​​
Aplicar as propriedades das frações: b−a​=−ba​=−2​3​​
Combinar os expoentes iguais: y​x​​=yx​​=−23​​
v=−23​​
v=−23​​
v=−23​​
2​v+3​<0:v<−23​​
2​v+3​<0
Mova 3​para o lado direito
2​v+3​<0
Subtrair 3​ de ambos os lados2​v+3​−3​<0−3​
Simplificar2​v<−3​
2​v<−3​
Dividir ambos os lados por 2​
2​v<−3​
Dividir ambos os lados por 2​2​2​v​<2​−3​​
Simplificar
2​2​v​<2​−3​​
Simplificar 2​2​v​:v
2​2​v​
Eliminar o fator comum: 2​=v
Simplificar 2​−3​​:−23​​
2​−3​​
Aplicar as propriedades das frações: b−a​=−ba​=−2​3​​
Combinar os expoentes iguais: y​x​​=yx​​=−23​​
v<−23​​
v<−23​​
v<−23​​
2​v+3​>0:v>−23​​
2​v+3​>0
Mova 3​para o lado direito
2​v+3​>0
Subtrair 3​ de ambos os lados2​v+3​−3​>0−3​
Simplificar2​v>−3​
2​v>−3​
Dividir ambos os lados por 2​
2​v>−3​
Dividir ambos os lados por 2​2​2​v​>2​−3​​
Simplificar
2​2​v​>2​−3​​
Simplificar 2​2​v​:v
2​2​v​
Eliminar o fator comum: 2​=v
Simplificar 2​−3​​:−23​​
2​−3​​
Aplicar as propriedades das frações: b−a​=−ba​=−2​3​​
Combinar os expoentes iguais: y​x​​=yx​​=−23​​
v>−23​​
v>−23​​
v>−23​​
Encontre os sinais de 2​v−3​
2​v−3​=0:v=23​​
2​v−3​=0
Mova 3​para o lado direito
2​v−3​=0
Adicionar 3​ a ambos os lados2​v−3​+3​=0+3​
Simplificar2​v=3​
2​v=3​
Dividir ambos os lados por 2​
2​v=3​
Dividir ambos os lados por 2​2​2​v​=2​3​​
Simplificar
2​2​v​=2​3​​
Simplificar 2​2​v​:v
2​2​v​
Eliminar o fator comum: 2​=v
Simplificar 2​3​​:23​​
2​3​​
Combinar os expoentes iguais: y​x​​=yx​​=23​​
v=23​​
v=23​​
v=23​​
2​v−3​<0:v<23​​
2​v−3​<0
Mova 3​para o lado direito
2​v−3​<0
Adicionar 3​ a ambos os lados2​v−3​+3​<0+3​
Simplificar2​v<3​
2​v<3​
Dividir ambos os lados por 2​
2​v<3​
Dividir ambos os lados por 2​2​2​v​<2​3​​
Simplificar
2​2​v​<2​3​​
Simplificar 2​2​v​:v
2​2​v​
Eliminar o fator comum: 2​=v
Simplificar 2​3​​:23​​
2​3​​
Combinar os expoentes iguais: y​x​​=yx​​=23​​
v<23​​
v<23​​
v<23​​
2​v−3​>0:v>23​​
2​v−3​>0
Mova 3​para o lado direito
2​v−3​>0
Adicionar 3​ a ambos os lados2​v−3​+3​>0+3​
Simplificar2​v>3​
2​v>3​
Dividir ambos os lados por 2​
2​v>3​
Dividir ambos os lados por 2​2​2​v​>2​3​​
Simplificar
2​2​v​>2​3​​
Simplificar 2​2​v​:v
2​2​v​
Eliminar o fator comum: 2​=v
Simplificar 2​3​​:23​​
2​3​​
Combinar os expoentes iguais: y​x​​=yx​​=23​​
v>23​​
v>23​​
v>23​​
Encontre os sinais de v2
v2=0:v=0
v2=0
Aplicar a regra xn=0⇒x=0
v=0
v2>0:v<0orv>0
v2>0
Para un>0, se né par então u<0oru>0
v<0orv>0
Encontre os sinais de v+1
v+1=0:v=−1
v+1=0
Mova 1para o lado direito
v+1=0
Subtrair 1 de ambos os ladosv+1−1=0−1
Simplificarv=−1
v=−1
v+1<0:v<−1
v+1<0
Mova 1para o lado direito
v+1<0
Subtrair 1 de ambos os ladosv+1−1<0−1
Simplificarv<−1
v<−1
v+1>0:v>−1
v+1>0
Mova 1para o lado direito
v+1>0
Subtrair 1 de ambos os ladosv+1−1>0−1
Simplificarv>−1
v>−1
Encontre os sinais de v−1
v−1=0:v=1
v−1=0
Mova 1para o lado direito
v−1=0
Adicionar 1 a ambos os ladosv−1+1=0+1
Simplificarv=1
v=1
v−1<0:v<1
v−1<0
Mova 1para o lado direito
v−1<0
Adicionar 1 a ambos os ladosv−1+1<0+1
Simplificarv<1
v<1
v−1>0:v>1
v−1>0
Mova 1para o lado direito
v−1>0
Adicionar 1 a ambos os ladosv−1+1>0+1
Simplificarv>1
v>1
Encontre pontos de singularidade
Encontre os zeros do denominador v2(v+1)(v−1):v=0,v=−1,v=1
v2(v+1)(v−1)=0
Usando o princípio do fator zero: Se ab=0então a=0ou b=0v=0orv+1=0orv−1=0
Resolver v+1=0:v=−1
v+1=0
Mova 1para o lado direito
v+1=0
Subtrair 1 de ambos os ladosv+1−1=0−1
Simplificarv=−1
v=−1
Resolver v−1=0:v=1
v−1=0
Mova 1para o lado direito
v−1=0
Adicionar 1 a ambos os ladosv−1+1=0+1
Simplificarv=1
v=1
As soluções sãov=0,v=−1,v=1
Resumir em uma tabela:2v+12v−12​v+3​2​v−3​v2v+1v−1v2(v+1)(v−1)(2v+1)(2v−1)(2​v+3​)(2​v−3​)​​v<−23​​−−−−+−−+​v=−23​​−−0−+−−0​−23​​<v<−1−−+−+−−−​v=−1−−+−+0−Indefinido​−1<v<−21​−−+−++−+​v=−21​0−+−++−0​−21​<v<0+−+−++−−​v=0+−+−0+−Indefinido​0<v<21​+−+−++−−​v=21​+0+−++−0​21​<v<1+++−++−+​v=1+++−++0Indefinido​1<v<23​​+++−+++−​v=23​​+++0+++0​v>23​​++++++++​​
Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária: ≤0v=−23​​or−23​​<v<−1orv=−21​or−21​<v<0or0<v<21​orv=21​or1<v<23​​orv=23​​
Junte intervalos que se sobrepoem
−23​​≤v<−1or−21​≤v<0or0<v≤21​or1<v<23​​orv=23​​
A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos
v=−23​​ou−23​​<v<−1
−23​​≤v<−1
A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos
−23​​≤v<−1ouv=−21​
−23​​≤v<−1orv=−21​
A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos
−23​​≤v<−1orv=−21​ou−21​<v<0
−23​​≤v<−1or−21​≤v<0
A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos
−23​​≤v<−1or−21​≤v<0ou0<v<21​
−23​​≤v<−1or−21​≤v<0or0<v<21​
A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos
−23​​≤v<−1or−21​≤v<0or0<v<21​ouv=21​
−23​​≤v<−1or−21​≤v<0or0<v≤21​
A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos
−23​​≤v<−1or−21​≤v<0or0<v≤21​ou1<v<23​​
−23​​≤v<−1or−21​≤v<0or0<v≤21​or1<v<23​​
A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos
−23​​≤v<−1or−21​≤v<0or0<v≤21​or1<v<23​​ouv=23​​
−23​​≤v<−1or−21​≤v<0or0<v≤21​or1<v≤23​​
−23​​≤v<−1or−21​≤v<0or0<v≤21​or1<v≤23​​
−23​​≤v<−1or−21​≤v<0or0<v≤21​or1<v≤23​​
−23​​≤v<−1or−21​≤v<0or0<v≤21​or1<v≤23​​
Substituir na equação v=sin(x)−23​​≤sin(x)<−1or−21​≤sin(x)<0or0<sin(x)≤21​or1<sin(x)≤23​​
−23​​≤sin(x)<−1:Falso para todo x∈R
−23​​≤sin(x)<−1
Se a≤u<bentão a≤uandu<b−23​​≤sin(x)andsin(x)<−1
−23​​≤sin(x):Verdadeiro para todo x∈R
−23​​≤sin(x)
Trocar ladossin(x)≥−23​​
Imagem de sin(x):−1≤sin(x)≤1
Definição de imagem de função
A imagem da função básica siné −1≤sin(x)≤1−1≤sin(x)≤1
sin(x)≥−23​​and−1≤sin(x)≤1:−1≤sin(x)≤1
Considere y=sin(x)
Combinar os intervalosy≥−23​​and−1≤y≤1
Junte intervalos que se sobrepoem
y≥−23​​and−1≤y≤1
A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos
y≥−23​​e−1≤y≤1
−1≤y≤1
−1≤y≤1
Verdadeiroparatodox
Verdadeiroparatodox∈R
sin(x)<−1:Falso para todo x∈R
sin(x)<−1
Imagem de sin(x):−1≤sin(x)≤1
Definição de imagem de função
A imagem da função básica siné −1≤sin(x)≤1−1≤sin(x)≤1
sin(x)<−1and−1≤sin(x)≤1:Falso
Considere y=sin(x)
Combinar os intervalosy<−1and−1≤y≤1
Junte intervalos que se sobrepoem
y<−1and−1≤y≤1
A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos
y<−1e−1≤y≤1
Falsoparatodoy∈R
Falsoparatodoy∈R
Semsoluc\c​a~oparax∈R
Falsoparatodox∈R
Combinar os intervalosVerdadeiroparatodox∈RandFalsoparatodox∈R
Junte intervalos que se sobrepoem
Verdadeiroparatodox∈RandFalsoparatodox∈R
A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos
Verdadeiro para todo x∈ReFalso para todo x∈R
Falsoparatodox∈R
Falsoparatodox∈R
−21​≤sin(x)<0:π+2πn<x≤67π​+2πnor611π​+2πn≤x<2π+2πn
−21​≤sin(x)<0
Se a≤u<bentão a≤uandu<b−21​≤sin(x)andsin(x)<0
−21​≤sin(x):−6π​+2πn≤x≤67π​+2πn
−21​≤sin(x)
Trocar ladossin(x)≥−21​
Para sin(x)≥a, se −1<a<1 então arcsin(a)+2πn≤x≤π−arcsin(a)+2πnarcsin(−21​)+2πn≤x≤π−arcsin(−21​)+2πn
Simplificar arcsin(−21​):−6π​
arcsin(−21​)
Utilizar a seguinte propriedade: arcsin(−x)=−arcsin(x)arcsin(−21​)=−arcsin(21​)=−arcsin(21​)
Utilizar a seguinte identidade trivial:arcsin(21​)=6π​
arcsin(21​)
x021​22​​23​​1​arcsin(x)06π​4π​3π​2π​​arcsin(x)0∘30∘45∘60∘90∘​​
=6π​
=−6π​
Simplificar π−arcsin(−21​):67π​
π−arcsin(−21​)
arcsin(−21​)=−6π​
arcsin(−21​)
Utilizar a seguinte propriedade: arcsin(−x)=−arcsin(x)arcsin(−21​)=−arcsin(21​)=−arcsin(21​)
Utilizar a seguinte identidade trivial:arcsin(21​)=6π​
arcsin(21​)
x021​22​​23​​1​arcsin(x)06π​4π​3π​2π​​arcsin(x)0∘30∘45∘60∘90∘​​
=6π​
=−6π​
=π−(−6π​)
Simplificar
π−(−6π​)
Aplicar a regra −(−a)=a=π+6π​
Converter para fração: π=6π6​=6π6​+6π​
Já que os denominadores são iguais, combinar as frações: ca​±cb​=ca±b​=6π6+π​
Somar elementos similares: 6π+π=7π=67π​
=67π​
−6π​+2πn≤x≤67π​+2πn
sin(x)<0:−π+2πn<x<2πn
sin(x)<0
Para sin(x)<a, se −1<a≤1 então −π−arcsin(a)+2πn<x<arcsin(a)+2πn−π−arcsin(0)+2πn<x<arcsin(0)+2πn
Simplificar −π−arcsin(0):−π
−π−arcsin(0)
Utilizar a seguinte identidade trivial:arcsin(0)=0x021​22​​23​​1​arcsin(x)06π​4π​3π​2π​​arcsin(x)0∘30∘45∘60∘90∘​​=−π−0
−π−0=−π=−π
Simplificar arcsin(0):0
arcsin(0)
Utilizar a seguinte identidade trivial:arcsin(0)=0x021​22​​23​​1​arcsin(x)06π​4π​3π​2π​​arcsin(x)0∘30∘45∘60∘90∘​​=0
−π+2πn<x<0+2πn
Simplificar−π+2πn<x<2πn
Combinar os intervalos−6π​+2πn≤x≤67π​+2πnand−π+2πn<x<2πn
Junte intervalos que se sobrepoemπ+2πn<x≤67π​+2πnor611π​+2πn≤x<2π+2πn
0<sin(x)≤21​:2πn<x≤6π​+2πnor65π​+2πn≤x<π+2πn
0<sin(x)≤21​
Se a<u≤bentão a<uandu≤b0<sin(x)andsin(x)≤21​
0<sin(x):2πn<x<π+2πn
0<sin(x)
Trocar ladossin(x)>0
Para sin(x)>a, se −1≤a<1 então arcsin(a)+2πn<x<π−arcsin(a)+2πnarcsin(0)+2πn<x<π−arcsin(0)+2πn
Simplificar arcsin(0):0
arcsin(0)
Utilizar a seguinte identidade trivial:arcsin(0)=0x021​22​​23​​1​arcsin(x)06π​4π​3π​2π​​arcsin(x)0∘30∘45∘60∘90∘​​=0
Simplificar π−arcsin(0):π
π−arcsin(0)
Utilizar a seguinte identidade trivial:arcsin(0)=0x021​22​​23​​1​arcsin(x)06π​4π​3π​2π​​arcsin(x)0∘30∘45∘60∘90∘​​=π−0
π−0=π=π
0+2πn<x<π+2πn
Simplificar2πn<x<π+2πn
sin(x)≤21​:−67π​+2πn≤x≤6π​+2πn
sin(x)≤21​
Para sin(x)≤a, se −1<a<1 então −π−arcsin(a)+2πn≤x≤arcsin(a)+2πn−π−arcsin(21​)+2πn≤x≤arcsin(21​)+2πn
Simplificar −π−arcsin(21​):−67π​
−π−arcsin(21​)
Utilizar a seguinte identidade trivial:arcsin(21​)=6π​x021​22​​23​​1​arcsin(x)06π​4π​3π​2π​​arcsin(x)0∘30∘45∘60∘90∘​​=−π−6π​
Simplificar
−π−6π​
Converter para fração: π=6π6​=−6π6​−6π​
Já que os denominadores são iguais, combinar as frações: ca​±cb​=ca±b​=6−π6−π​
Somar elementos similares: −6π−π=−7π=6−7π​
Aplicar as propriedades das frações: b−a​=−ba​=−67π​
=−67π​
Simplificar arcsin(21​):6π​
arcsin(21​)
Utilizar a seguinte identidade trivial:arcsin(21​)=6π​x021​22​​23​​1​arcsin(x)06π​4π​3π​2π​​arcsin(x)0∘30∘45∘60∘90∘​​=6π​
−67π​+2πn≤x≤6π​+2πn
Combinar os intervalos2πn<x<π+2πnand−67π​+2πn≤x≤6π​+2πn
Junte intervalos que se sobrepoem2πn<x≤6π​+2πnor65π​+2πn≤x<π+2πn
1<sin(x)≤23​​:Falso para todo x∈R
1<sin(x)≤23​​
Se a<u≤bentão a<uandu≤b1<sin(x)andsin(x)≤23​​
1<sin(x):Falso para todo x∈R
1<sin(x)
Trocar ladossin(x)>1
Imagem de sin(x):−1≤sin(x)≤1
Definição de imagem de função
A imagem da função básica siné −1≤sin(x)≤1−1≤sin(x)≤1
sin(x)>1and−1≤sin(x)≤1:Falso
Considere y=sin(x)
Combinar os intervalosy>1and−1≤y≤1
Junte intervalos que se sobrepoem
y>1and−1≤y≤1
A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos
y>1e−1≤y≤1
Falsoparatodoy∈R
Falsoparatodoy∈R
Semsoluc\c​a~oparax∈R
Falsoparatodox∈R
sin(x)≤23​​:Verdadeiro para todo x∈R
sin(x)≤23​​
Imagem de sin(x):−1≤sin(x)≤1
Definição de imagem de função
A imagem da função básica siné −1≤sin(x)≤1−1≤sin(x)≤1
sin(x)≤23​​and−1≤sin(x)≤1:−1≤sin(x)≤1
Considere y=sin(x)
Combinar os intervalosy≤23​​and−1≤y≤1
Junte intervalos que se sobrepoem
y≤23​​and−1≤y≤1
A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos
y≤23​​e−1≤y≤1
−1≤y≤1
−1≤y≤1
Verdadeiroparatodox
Verdadeiroparatodox∈R
Combinar os intervalosFalsoparatodox∈RandVerdadeiroparatodox∈R
Junte intervalos que se sobrepoem
Falsoparatodox∈RandVerdadeiroparatodox∈R
A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos
Falso para todo x∈ReVerdadeiro para todo x∈R
Falsoparatodox∈R
Falsoparatodox∈R
Combinar os intervalosFalsoparatodox∈Ror(π+2πn<x≤67π​+2πnor611π​+2πn≤x<2π+2πn)or(2πn<x≤6π​+2πnor65π​+2πn≤x<π+2πn)orFalsoparatodox∈R
Junte intervalos que se sobrepoem2πn<x≤6π​+2πnor65π​+2πn≤x<π+2πnorπ+2πn<x≤67π​+2πnor611π​+2πn≤x<2π+2πn

Exemplos populares

cos(x)>= sin(x)cos(x)≥sin(x)sin(x)<1sin(x)<1tan(x)<0.7tan(x)<0.7sin(2x)>0sin(2x)>0sin(x)>= 1/2sin(x)≥21​
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