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beweisen cot(θ)(sin(θ)+tan(θ))=cos(θ)+1

Lösung

beweisen

cot (θ) (sin (θ) + tan (θ)) = cos (θ) + 1

Wahr

Schritte zur Lösung

cot (θ) (sin (θ) + tan (θ)) = cos (θ) + 1

Manipuliere die linke Seite

cot (θ) (sin (θ) + tan (θ))

Drücke mit sin, cos aus

(sin (θ) + tan (θ)) cot (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (sin (θ) + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}) cot (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (sin (θ) + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}) \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Vereinfache

(sin (θ) + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}) \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} : cos (θ) + 1

(sin (θ) + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}) \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( θ ) ( sin ( θ ) + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} )}{sin ( θ )}

Füge

sin (θ) + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

zusammen:

\frac{sin ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

sin (θ) + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (θ) = \frac{sin ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{\frac{s i n ( θ ) c o s ( θ ) + s i n ( θ )}{c o s ( θ )} cos ( θ )}{sin ( θ )}

Multipliziere

cos (θ) \frac{sin ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )} : sin (θ) cos (θ) + sin (θ)

cos (θ) \frac{sin ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ ) ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= sin (θ) cos (θ) + sin (θ)

= \frac{sin ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{sin ( θ )}

Klammere gleiche Terme aus

sin (θ)

= \frac{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{sin ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (θ)

= cos (θ) + 1

= cos (θ) + 1

= 1 + cos (θ)

= cos (θ) + 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e (2 - sin^{2} (x)) csc^{2} (x) = cot^{2} (x)

p ro v e \frac{1}{tan ( A )} + tan (A) = \frac{2}{sin ( 2 A )}

p ro v e 1 + sin (θ) = cos (θ)

p ro v e 1 + \frac{( tan ^{2} ( x ) )}{1 + sec ( x )} = sec (x)

p ro v e csc^{2} (x) \cdot cos^{2} (x) = cot^{2} (x)