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provar (cos^2(x))/(sin^2(x))+1=csc^2(x)

Solução

provar

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1 = csc^{2} (x)

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1 = csc^{2} (x)

Manipular o lado esquerdo

csc^{2} (x)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

csc^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

csc^{2} (x) = 1 + cot^{2} (x)

= 1 + cot^{2} (x)

= 1 + cot^{2} (x)

Expresar com seno, cosseno

1 + cot^{2} (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Simplificar

1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} : \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Expandir

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

\frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} = 1

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1

= 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e cot (x) - cot (x) cos^{2} (x) = sin (x) cos (x)

p ro v e \frac{1}{sec ( θ )} = arcsec (θ)

p ro v e \frac{( cot ( x ) )}{( csc ( x ) )} = cos (x)

p ro v e \frac{( sec ^{2} ( t ) )}{sec ^{2} ( t ) - 1} = csc^{2} (t)

p ro v e sin^{2} (x) = cos (2 x) + 2