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beweisen (cos^2(x))/(sin^2(x))+1=csc^2(x)

Lösung

beweisen

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1 = csc^{2} (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1 = csc^{2} (x)

Manipuliere die rechte Seite

csc^{2} (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

csc^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

csc^{2} (x) = 1 + cot^{2} (x)

= 1 + cot^{2} (x)

= 1 + cot^{2} (x)

Drücke mit sin, cos aus

1 + cot^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Vereinfache

1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} : \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere aus

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

\frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} = 1

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1

= 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot (x) - cot (x) cos^{2} (x) = sin (x) cos (x)

p ro v e \frac{1}{sec ( θ )} = arcsec (θ)

p ro v e \frac{( cot ( x ) )}{( csc ( x ) )} = cos (x)

p ro v e \frac{( sec ^{2} ( t ) )}{sec ^{2} ( t ) - 1} = csc^{2} (t)

p ro v e sin^{2} (x) = cos (2 x) + 2