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provar tan(θ)+1=(sin(θ))/(cos(θ))+1

Solução

provar

tan (θ) + 1 = \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + 1

Verdadeiro

Passos da solução

tan (θ) + 1 = \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + 1

Manipular o lado direito

tan (θ) + 1

Expresar com seno, cosseno

1 + tan (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Simplificar

1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

Expandir

\frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )} : 1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

\frac{cos ( θ )}{cos ( θ )} = 1

= 1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= 1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + 1

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e (1 + tan^{2} (α)) cos^{2} (α) = 1

p ro v e \frac{1}{sin ^{2} ( x )} = \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

p ro v e sin (x) (1 + tan^{2} (x)) = sin (x) sec^{2} (x)

p ro v e \frac{tan ^{2} ( X )}{1 + cot ^{2} ( X )} = sin^{4} (X)

p ro v e sin (x) + cot (x) cos (x) = \frac{1}{sin ( x )}