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Popolare Trigonometria >

dimostrare cos(2((7pi)/4)-pi/2)=-1

Soluzione

dimostrare

cos (2 (\frac{7 π}{4}) - \frac{π}{2}) = - 1

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

cos (2 \cdot \frac{7 π}{4} - \frac{π}{2}) = - 1

Manipolando il lato sinistro

cos (2 \frac{7 π}{4} - \frac{π}{2})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (2 \cdot \frac{7 π}{4} - \frac{π}{2})

Usa la formula della differenza degli angoli:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= cos (2 \cdot \frac{7 π}{4}) cos (\frac{π}{2}) + sin (2 \cdot \frac{7 π}{4}) sin (\frac{π}{2})

cos (2 \cdot \frac{7 π}{4}) cos (\frac{π}{2}) + sin (2 \cdot \frac{7 π}{4}) sin (\frac{π}{2}) = - 1

cos (2 \cdot \frac{7 π}{4}) cos (\frac{π}{2}) + sin (2 \cdot \frac{7 π}{4}) sin (\frac{π}{2})

cos (2 \cdot \frac{7 π}{4}) cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (2 \cdot \frac{7 π}{4}) cos (\frac{π}{2})

Moltiplicare

2 \cdot \frac{7 π}{4} : \frac{7 π}{2}

2 \cdot \frac{7 π}{4}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 π 2}{4}

Moltiplica i numeri:

7 \cdot 2 = 14

= \frac{14 π}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{7 π}{2}

= cos (\frac{π}{2}) cos (\frac{7 π}{2})

Semplifica

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

Usare la seguente identità triviale:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot cos (\frac{7 π}{2})

cos (\frac{7 π}{2}) = 0

cos (\frac{7 π}{2})

cos (\frac{7 π}{2}) = cos (\frac{3 π}{2})

cos (\frac{7 π}{2})

Riscrivi

\frac{7 π}{2}

come

2 π + \frac{3 π}{2}

= cos (2 π + \frac{3 π}{2})

Applicare la periodicità di

cos

cos (x + 2 π) = cos (x)

cos (2 π + \frac{3 π}{2}) = cos (\frac{3 π}{2})

= cos (\frac{3 π}{2})

= cos (\frac{3 π}{2})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

cos (π) cos (\frac{π}{2}) - sin (π) sin (\frac{π}{2})

cos (\frac{3 π}{2})

Scrivere

cos (\frac{3 π}{2})

come

cos (π + \frac{π}{2})

= cos (π + \frac{π}{2})

Usa la formula della somma degli angoli:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (π) cos (\frac{π}{2}) - sin (π) sin (\frac{π}{2})

= cos (π) cos (\frac{π}{2}) - sin (π) sin (\frac{π}{2})

Usare la seguente identità triviale:

cos (π) = (- 1)

cos (π)

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= (- 1)

Usare la seguente identità triviale:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (\frac{π}{2})

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

Usare la seguente identità triviale:

sin (π) = 0

sin (π)

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

Usare la seguente identità triviale:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (\frac{π}{2})

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 1

= (- 1) \cdot 0 - 0 \cdot 1

Semplificare

= 0

= 0 \cdot 0

Moltiplica i numeri:

0 \cdot 0 = 0

= 0

sin (2 \cdot \frac{7 π}{4}) sin (\frac{π}{2}) = - 1

sin (2 \cdot \frac{7 π}{4}) sin (\frac{π}{2})

Moltiplicare

2 \cdot \frac{7 π}{4} : \frac{7 π}{2}

2 \cdot \frac{7 π}{4}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 π 2}{4}

Moltiplica i numeri:

7 \cdot 2 = 14

= \frac{14 π}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{7 π}{2}

= sin (\frac{π}{2}) sin (\frac{7 π}{2})

Semplifica

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

Usare la seguente identità triviale:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 1

= 1 \cdot sin (\frac{7 π}{2})

sin (\frac{7 π}{2}) = - 1

sin (\frac{7 π}{2})

sin (\frac{7 π}{2}) = sin (\frac{3 π}{2})

sin (\frac{7 π}{2})

Riscrivi

\frac{7 π}{2}

come

2 π + \frac{3 π}{2}

= sin (2 π + \frac{3 π}{2})

Applicare la periodicità di

sin

sin (x + 2 π) = sin (x)

sin (2 π + \frac{3 π}{2}) = sin (\frac{3 π}{2})

= sin (\frac{3 π}{2})

= sin (\frac{3 π}{2})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

sin (π) cos (\frac{π}{2}) + cos (π) sin (\frac{π}{2})

sin (\frac{3 π}{2})

Scrivere

sin (\frac{3 π}{2})

come

sin (π + \frac{π}{2})

= sin (π + \frac{π}{2})

Usa la formula della somma degli angoli:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (π) cos (\frac{π}{2}) + cos (π) sin (\frac{π}{2})

= sin (π) cos (\frac{π}{2}) + cos (π) sin (\frac{π}{2})

Usare la seguente identità triviale:

sin (π) = 0

sin (π)

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

Usare la seguente identità triviale:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (\frac{π}{2})

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

Usare la seguente identità triviale:

cos (π) = (- 1)

cos (π)

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= (- 1)

Usare la seguente identità triviale:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (\frac{π}{2})

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 1

= 0 \cdot 0 + (- 1) \cdot 1

Semplificare

= - 1

= - 1 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 1 = 1

= - 1

= 0 - 1

Semplificare

= - 1

= - 1

= - 1

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare 1-(1-sin(x))=sin(x)

p ro v e 1 - (1 - sin (x)) = sin (x)

dimostrare (-cos(x))/(sin(x))=cot(x)

p ro v e \frac{- cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

dimostrare sin(-(2pi)/5)=-sin((2pi)/5)

p ro v e sin (- \frac{2 π}{5}) = - sin (\frac{2 π}{5})

dimostrare sin(θ)-tan(θ)=(sin(θ))/(1-cos(θ))

p ro v e sin (θ) - tan (θ) = \frac{sin ( θ )}{1 - cos ( θ )}

dimostrare sin^2(u)=((1-cos(2u)))/2

p ro v e sin^{2} (u) = \frac{( 1 - cos ( 2 u ) )}{2}