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Populaire Trigonométrie >

prouver (csc^2(t))/(cot(t))=tan(t)+cot(t)

Solution

prouver

\frac{csc ^{2} ( t )}{cot ( t )} = tan (t) + cot (t)

Solution

vrai

étapes des solutions

\frac{csc ^{2} ( t )}{cot ( t )} = tan (t) + cot (t)

En manipulant le côté gauche

\frac{csc ^{2} ( t )}{cot ( t )}

Exprimer avec sinus, cosinus

\frac{csc ^{2} ( t )}{cot ( t )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{( \frac{1}{s i n ( t )} ) ^{2}}{cot ( t )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{( \frac{1}{s i n ( t )} ) ^{2}}{\frac{c o s ( t )}{s i n ( t )}}

Simplifier

\frac{( \frac{1}{s i n ( t )} ) ^{2}}{\frac{c o s ( t )}{s i n ( t )}} : \frac{1}{sin ( t ) cos ( t )}

\frac{( \frac{1}{s i n ( t )} ) ^{2}}{\frac{c o s ( t )}{s i n ( t )}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( \frac{1}{s i n ( t )} ) ^{2} sin ( t )}{cos ( t )}

(\frac{1}{sin ( t )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( t )}

(\frac{1}{sin ( t )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( t )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( t )}

= \frac{\frac{1}{s i n ^{2} ( t )} sin ( t )}{cos ( t )}

Multiplier

\frac{1}{sin ^{2} ( t )} sin (t) : \frac{1}{sin ( t )}

\frac{1}{sin ^{2} ( t )} sin (t)

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( t )}{sin ^{2} ( t )}

Multiplier:

1 \cdot sin (t) = sin (t)

= \frac{sin ( t )}{sin ^{2} ( t )}

Annuler le facteur commun :

sin (t)

= \frac{1}{sin ( t )}

= \frac{\frac{1}{s i n ( t )}}{cos ( t )}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{sin ( t ) cos ( t )}

= \frac{1}{sin ( t ) cos ( t )}

= \frac{1}{cos ( t ) sin ( t )}

En manipulant le côté droit

tan (t) + cot (t)

Exprimer avec sinus, cosinus

cot (t) + tan (t)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( t )}{sin ( t )} + tan (t)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

Simplifier

\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )} : \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{sin ( t ) cos ( t )}

\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

Plus petit commun multiple de

sin (t), cos (t) : sin (t) cos (t)

sin (t), cos (t)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

sin (t)

ou dans

cos (t)

= sin (t) cos (t)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

sin (t) cos (t)

Pour

\frac{cos ( t )}{sin ( t )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (t)

\frac{cos ( t )}{sin ( t )} = \frac{cos ( t ) cos ( t )}{sin ( t ) cos ( t )} = \frac{cos ^{2} ( t )}{sin ( t ) cos ( t )}

Pour

\frac{sin ( t )}{cos ( t )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin (t)

\frac{sin ( t )}{cos ( t )} = \frac{sin ( t ) sin ( t )}{cos ( t ) sin ( t )} = \frac{sin ^{2} ( t )}{sin ( t ) cos ( t )}

= \frac{cos ^{2} ( t )}{sin ( t ) cos ( t )} + \frac{sin ^{2} ( t )}{sin ( t ) cos ( t )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{sin ( t ) cos ( t )}

= \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{sin ( t ) cos ( t )}

= \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{cos ( t ) sin ( t )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{cos ( t ) sin ( t )}

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ( t ) sin ( t )}

= \frac{1}{cos ( t ) sin ( t )}

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver 4(5cos(2x))+(-20cos(2x))=0

p ro v e 4 (5 cos (2 x)) + (- 20 cos (2 x)) = 0

prouver 2cos(2x)-1=1-2sin(2x)

p ro v e 2 cos (2 x) - 1 = 1 - 2 sin (2 x)

prouver sin(x)=tan(x)*cos(x)

p ro v e sin (x) = tan (x) \cdot cos (x)

prouver tan^2(x)csc^2(x)-1=tan(x)

p ro v e tan^{2} (x) csc^{2} (x) - 1 = tan (x)

prouver (1+cos(2x))/(2sin^2(x))=cot^2(x)

p ro v e \frac{1 + cos ( 2 x )}{2 sin ^{2} ( x )} = cot^{2} (x)