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beweisen sin(x)(tan^2(x)+1)=tan(x)sec(x)

Lösung

beweisen

sin (x) (tan^{2} (x) + 1) = tan (x) sec (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (x) (tan^{2} (x) + 1) = tan (x) sec (x)

Manipuliere die linke Seite

sin (x) (tan^{2} (x) + 1)

Drücke mit sin, cos aus

(1 + tan^{2} (x)) sin (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) sin (x)

Vereinfache

(1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) sin (x) : \frac{sin ( x ) ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{cos ^{2} ( x )}

(1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= sin (x) (\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 1)

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x ) ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Vereinfache

= \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

tan (x) sec (x)

Drücke mit sin, cos aus

sec (x) tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc (u) = 2

p ro v e csc (x) - cos^{2} (x) - csc (x) = sin (x)

p ro v e 1 - \frac{cos ^{2} ( x )}{1 + sin ^{2} ( x )} = sin (s)

p ro v e csc (x) = \frac{1}{sin ( x )} = 2

p ro v e 5 - 5 + 5 - 5 - 5 - 5 + 5 - 5 + 5 + 5 - 5 = - 5