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Popolare Trigonometria >

dimostrare sin(67)=sin(42)cos(25)+cos(42)sin(25)

Soluzione

dimostrare

sin (6 7^{\circ}) = sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

sin (6 7^{\circ}) = sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

Manipolando il lato destro

sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

Usa la formula della somma degli angoli:

sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t) = sin (s + t)

= sin (4 2^{\circ} + 2 5^{\circ})

Unisci

4 2^{\circ} + 2 5^{\circ} : 6 7^{\circ}

4 2^{\circ} + 2 5^{\circ}

Minimo Comune Multiplo di

30, 36 : 180

30, 36

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

30 : 2 \cdot 3 \cdot 5

30

30

diviso per

230 = 15 \cdot 2

= 2 \cdot 15

15

diviso per

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 3 \cdot 5

Fattorizzazione prima di

36 : 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

36

36

diviso per

236 = 18 \cdot 2

= 2 \cdot 18

18

diviso per

218 = 9 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 9

9

diviso per

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 30 o 36

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 180

= 180

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

180

Per

4 2^{\circ} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

6

4 2^{\circ} = \frac{126 0 ^{\circ} 6}{30 \cdot 6} = 4 2^{\circ}

Per

2 5^{\circ} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

5

2 5^{\circ} = \frac{90 0 ^{\circ} 5}{36 \cdot 5} = 2 5^{\circ}

= 4 2^{\circ} + 2 5^{\circ}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{756 0 ^{\circ} + 450 0 ^{\circ}}{180}

Aggiungi elementi simili:

756 0^{\circ} + 450 0^{\circ} = 1206 0^{\circ}

= 6 7^{\circ}

= sin (6 7^{\circ})

= sin (6 7^{\circ})

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare cos(90+30)=cos(120)

p ro v e cos (9 0^{\circ} + 3 0^{\circ}) = cos (12 0^{\circ})

dimostrare 1-sin(x)=cos^2(x)

p ro v e 1 - sin (x) = cos^{2} (x)

dimostrare 1+cos(2x)+2sin^{(2)}(x)=2

p ro v e 1 + cos (2 x) + 2 sin^{(2)} (x) = 2

dimostrare 1/(1+sin(x))+1/(1+csc(x))=1

p ro v e \frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 + csc ( x )} = 1

dimostrare sin^2(θ)cos^2(θ)=1

p ro v e sin^{2} (θ) cos^{2} (θ) = 1