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人気のある三角関数 >

証明する (1-cos(a))/(1+cos(a))=tan^2(a/2)

解

証明する

\frac{1 - cos ( a )}{1 + cos ( a )} = tan^{2} (\frac{a}{2})

解

真

解答ステップ

\frac{1 - cos ( a )}{1 + cos ( a )} = tan^{2} (\frac{a}{2})

仮定:

u = \frac{a}{2}

\frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )} = tan^{2} (u)

以下を証明する

\frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )} = tan^{2} (u) :

真

\frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )} = tan^{2} (u)

左側を操作する

\frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

2倍角の公式を使用:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( u )}

簡素化

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( u )} : \frac{sin ^{2} ( u )}{- sin ^{2} ( u ) + 1}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( u )}

数を足す:

1 + 1 = 2

= \frac{1 - ( - 2 sin ^{2} ( u ) + 1 )}{- 2 sin ^{2} ( u ) + 2}

拡張

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

括弧を分配する

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{- 2 sin ^{2} ( u ) + 2}

因数

- 2 sin^{2} (u) + 2 : 2 (- sin^{2} (u) + 1)

- 2 sin^{2} (u) + 2

書き換え

= - 2 sin^{2} (u) + 2 \cdot 1

共通項をくくり出す

2

= 2 (- sin^{2} (u) + 1)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{2 ( - sin ^{2} ( u ) + 1 )}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ^{2} ( u )}{( - sin ^{2} ( u ) + 1 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{sin ^{2} ( u )}{- sin ^{2} ( u ) + 1}

= \frac{sin ^{2} ( u )}{- sin ^{2} ( u ) + 1}

ピタゴラスの公式を使用する:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

三角関数の公式を使用して書き換える

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{sin ( u ) tan ( u )}{cos ( u )}

= tan (u) \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (u) tan (u)

簡素化

tan (u) tan (u) : tan^{2} (u)

tan (u) tan (u)

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (u) tan (u) = tan^{1 + 1} (u)

= tan^{1 + 1} (u)

数を足す:

1 + 1 = 2

= tan^{2} (u)

tan^{2} (u)

tan^{2} (u)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

このため

\frac{1 - cos ( a )}{1 + cos ( a )} = tan^{2} (\frac{a}{2})

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する csc^2(x)-cos(x)sec(x)=cot^2(x)

p ro v e csc^{2} (x) - cos (x) sec (x) = cot^{2} (x)

証明する (csc(x)+1)/(cot(x)+cos(x))=sec(x)

p ro v e \frac{csc ( x ) + 1}{cot ( x ) + cos ( x )} = sec (x)

証明する csc^2(θ/2)= 2/(1-cos(θ))

p ro v e csc^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( θ )}

証明する sec(x)cos(x)+tan^2(x)=sec^2(x)

p ro v e sec (x) cos (x) + tan^{2} (x) = sec^{2} (x)

証明する cot^2(θ)+1= 1/(sin^2(θ))

p ro v e cot^{2} (θ) + 1 = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}