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受欢迎的三角函数 >

证明 1/2 cot(x/2)-1/2 tan(x/2)=cot(x)

解答

证明

\frac{1}{2} cot (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} tan (\frac{x}{2}) = cot (x)

解答

真

求解步骤

\frac{1}{2} cot (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} tan (\frac{x}{2}) = cot (x)

令

: u = \frac{x}{2}

\frac{1}{2} cot (u) - \frac{1}{2} tan (u) = cot (2 u)

证明

\frac{1}{2} cot (u) - \frac{1}{2} tan (u) = cot (2 u) :

真

\frac{1}{2} cot (u) - \frac{1}{2} tan (u) = cot (2 u)

调整左侧

\frac{1}{2} cot (u) - \frac{1}{2} tan (u)

用 sin, cos 表示

cot (u) \frac{1}{2} - \frac{1}{2} tan (u)

使用基本三角恒等式:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} tan (u)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

化简

\frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )} : \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

\frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2} = \frac{cos ( u )}{2 sin ( u )}

\frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2}

分式相乘:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ( u ) \cdot 1}{sin ( u ) \cdot 2}

乘以:

cos (u) \cdot 1 = cos (u)

= \frac{cos ( u )}{2 sin ( u )}

\frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )} = \frac{sin ( u )}{2 cos ( u )}

\frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

分式相乘:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ( u )}{2 cos ( u )}

乘以:

1 \cdot sin (u) = sin (u)

= \frac{sin ( u )}{2 cos ( u )}

= \frac{cos ( u )}{2 sin ( u )} - \frac{sin ( u )}{2 cos ( u )}

sin (u) 2, 2 cos (u)

的最小公倍数:

2 sin (u) cos (u)

sin (u) \cdot 2, 2 cos (u)

最小公倍数 (LCM)

2, 2

的最小公倍数:

2

2, 2

最小公倍数 (LCM)

2

质因数分解:

2

2

2

是质数，因此无法因数分解

= 2

2

质因数分解:

2

2

2

是质数，因此无法因数分解

= 2

将每个因子乘以它在

2

或

2

中出现的最多次数

= 2

数字相乘:

2 = 2

= 2

计算出由出现在

sin (u) 2

或

2 cos (u)

中的因子组成的表达式

= 2 sin (u) cos (u)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

2 sin (u) cos (u)

对于

\frac{cos ( u )}{sin ( u ) \cdot 2} :

将分母和分子乘以

cos (u)

\frac{cos ( u )}{sin ( u ) \cdot 2} = \frac{cos ( u ) cos ( u )}{sin ( u ) \cdot 2 cos ( u )} = \frac{cos ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

对于

\frac{sin ( u )}{2 cos ( u )} :

将分母和分子乘以

sin (u)

\frac{sin ( u )}{2 cos ( u )} = \frac{sin ( u ) sin ( u )}{2 cos ( u ) sin ( u )} = \frac{sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )} - \frac{sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{2 cos ( u ) sin ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{2 cos ( u ) sin ( u )}

使用三角恒等式改写

\frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{2 cos ( u ) sin ( u )}

使用倍角公式:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{sin ( 2 u )}

使用倍角公式:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

= \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

使用基本三角恒等式:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (2 u)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

因此

\frac{1}{2} cot (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} tan (\frac{x}{2}) = cot (x)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 (-cot(x)+1)/(tan(x)-1)=cot(x)

p ro v e \frac{- cot ( x ) + 1}{tan ( x ) - 1} = cot (x)

证明 4cos^2(a)+4sin^2(a)=4

p ro v e 4 cos^{2} (a) + 4 sin^{2} (a) = 4

证明 (sin(a))/(tan(a))=cos(a)

p ro v e \frac{sin ( a )}{tan ( a )} = cos (a)

证明 sin^2(3x)+cos^2(3x)=1

p ro v e sin^{2} (3 x) + cos^{2} (3 x) = 1

证明 cos(pi/7)=sin(pi/2-pi/7)

p ro v e cos (\frac{π}{7}) = sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{7})