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beweisen (1-csc^2(A))/(csc^2(A))=-cos^2(A)

Lösung

beweisen

\frac{1 - csc ^{2} ( A )}{csc ^{2} ( A )} = - cos^{2} (A)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 - csc ^{2} ( A )}{csc ^{2} ( A )} = - cos^{2} (A)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 - csc ^{2} ( A )}{csc ^{2} ( A )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 - csc ^{2} ( A )}{csc ^{2} ( A )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1 - ( \frac{1}{s i n ( A )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( A )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1 - ( \frac{1}{s i n ( A )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( A )} ) ^{2}} : sin^{2} (A) - 1

\frac{1 - ( \frac{1}{s i n ( A )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( A )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( A )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( A )}

(\frac{1}{sin ( A )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( A )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( A )}

= \frac{1 - ( \frac{1}{s i n ( A )} ) ^{2}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( A )}}

(\frac{1}{sin ( A )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( A )}

(\frac{1}{sin ( A )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( A )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( A )}

= \frac{1 - \frac{1}{s i n ^{2} ( A )}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( A )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 - \frac{1}{s i n ^{2} ( A )} ) sin ^{2} ( A )}{1}

Füge

1 - \frac{1}{sin ^{2} ( A )}

zusammen:

\frac{sin ^{2} ( A ) - 1}{sin ^{2} ( A )}

1 - \frac{1}{sin ^{2} ( A )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( A )}{sin ^{2} ( A )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( A )}{sin ^{2} ( A )} - \frac{1}{sin ^{2} ( A )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( A ) - 1}{sin ^{2} ( A )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (A) = sin^{2} (A)

= \frac{sin ^{2} ( A ) - 1}{sin ^{2} ( A )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( A ) - 1}{s i n ^{2} ( A )} sin ^{2} ( A )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{sin ^{2} ( A ) - 1}{sin ^{2} ( A )} sin^{2} (A)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ^{2} ( A ) - 1 ) sin ^{2} ( A )}{sin ^{2} ( A )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (A)

= sin^{2} (A) - 1

= sin^{2} (A) - 1

= - 1 + sin^{2} (A)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + sin^{2} (A)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= - cos^{2} (A)

= - cos^{2} (A)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin^{0.5} (x) cos (x) - sin^{2.5} (x) cos (x) = cos^{3} (x) sin (x)

p ro v e sin (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{2}

p ro v e \frac{tan ( X ) - sin ( X )}{sin ^{3} ( X )} = \frac{sec ( X )}{1 + cos ( X )}

p ro v e sin (x) + cos (x) = \frac{cot ( x ) + 1}{csc ( x )}

p ro v e sin^{2} (t) = 2 sin (t) cos (t)