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dimostrare (cos(2x))/(1-sin^2(x))=2-sec^2(x)

Soluzione

dimostrare

\frac{cos ( 2 x )}{1 - sin ^{2} ( x )} = 2 - sec^{2} (x)

Vero

Fasi della soluzione

\frac{cos ( 2 x )}{1 - sin ^{2} ( x )} = 2 - sec^{2} (x)

Manipolando il lato destro

2 - sec^{2} (x)

Esprimere con sen e cos

2 - sec^{2} (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= 2 - (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Semplifica

2 - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} : \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

2 - (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= 2 - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Converti l'elemento in frazione:

2 = \frac{2 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{- 1 + 2 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{- 1 + 2 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

2 cos^{2} (x) - 1 = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 x )}{cos ^{2} ( x )}

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{cos ( 2 x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ( 2 x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e cot (- θ) \cdot cos (- θ) + sin (- θ) = - csc (θ)

p ro v e sec (θ) cot (θ) - sin (θ) = cos (θ) cot (θ)

p ro v e 9 sin (9 π - x) = 9 sin (x)

p ro v e tan^{4} (θ) - sec^{4} (θ) = 1 - 2 sec^{2} (θ)

p ro v e sec (x) - tan (x) = cos (x)