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dimostrare (2+csc(x))/(sec(x))-2cos(x)=cot(x)

Soluzione

dimostrare

\frac{2 + csc ( x )}{sec ( x )} - 2 cos (x) = cot (x)

Vero

Fasi della soluzione

\frac{2 + csc ( x )}{sec ( x )} - 2 cos (x) = cot (x)

Manipolando il lato sinistro

\frac{2 + csc ( x )}{sec ( x )} - 2 cos (x)

Esprimere con sen e cos

\frac{2 + csc ( x )}{sec ( x )} - 2 cos (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{2 + \frac{1}{s i n ( x )}}{sec ( x )} - 2 cos (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{2 + \frac{1}{s i n ( x )}}{\frac{1}{c o s ( x )}} - 2 cos (x)

Semplifica

\frac{2 + \frac{1}{s i n ( x )}}{\frac{1}{c o s ( x )}} - 2 cos (x) : \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{2 + \frac{1}{s i n ( x )}}{\frac{1}{c o s ( x )}} - 2 cos (x)

\frac{2 + \frac{1}{s i n ( x )}}{\frac{1}{c o s ( x )}} = \frac{cos ( x ) ( 2 sin ( x ) + 1 )}{sin ( x )}

\frac{2 + \frac{1}{s i n ( x )}}{\frac{1}{c o s ( x )}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 2 + \frac{1}{s i n ( x )} ) cos ( x )}{1}

Unisci

2 + \frac{1}{sin ( x )} : \frac{2 sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

2 + \frac{1}{sin ( x )}

Converti l'elemento in frazione:

2 = \frac{2 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{2 s i n ( x ) + 1}{s i n ( x )} cos ( x )}{1}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{1} = a

= \frac{2 sin ( x ) + 1}{sin ( x )} cos (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 2 sin ( x ) + 1 ) cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) ( 2 sin ( x ) + 1 )}{sin ( x )} - 2 cos (x)

Converti l'elemento in frazione:

2 cos (x) = \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{( 2 sin ( x ) + 1 ) cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( 2 sin ( x ) + 1 ) cos ( x ) - 2 cos ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

Espandi

(2 sin (x) + 1) cos (x) - 2 cos (x) sin (x) : cos (x)

(2 sin (x) + 1) cos (x) - 2 cos (x) sin (x)

= cos (x) (2 sin (x) + 1) - 2 cos (x) sin (x)

Espandi

cos (x) (2 sin (x) + 1) : 2 cos (x) sin (x) + cos (x)

cos (x) (2 sin (x) + 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = cos (x), b = 2 sin (x), c = 1

= cos (x) \cdot 2 sin (x) + cos (x) \cdot 1

= 2 cos (x) sin (x) + 1 \cdot cos (x)

Moltiplicare:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= 2 cos (x) sin (x) + cos (x)

= 2 cos (x) sin (x) + cos (x) - 2 cos (x) sin (x)

Aggiungi elementi simili:

2 cos (x) sin (x) - 2 cos (x) sin (x) = 0

= cos (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e \frac{cos ( 6 0 ^{\circ} )}{sin ( 6 0 ^{\circ} )} = cot (6 0^{\circ})

p ro v e \frac{1}{sec ( x ) ( sec ( x ) - cos ( x ) )} = cot^{2} (x)

p ro v e sec (3 0^{\circ}) - sin (3 0^{\circ}) tan (3 0^{\circ}) = cos (3 0^{\circ})

p ro v e tan (x) \cdot csc^{2} (x) - tan (x) = cot (x)

p ro v e 2 sin^{2} (2 x) + cos (4 x) = 1