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受欢迎的三角函数 >

证明 (1-cos(2θ))/(cos(2θ)+1)=tan^2(θ)

解答

证明

\frac{1 - cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ ) + 1} = tan^{2} (θ)

解答

真

求解步骤

\frac{1 - cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ ) + 1} = tan^{2} (θ)

调整左侧

\frac{1 - cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ ) + 1}

使用三角恒等式改写

\frac{1 - cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ ) + 1}

使用倍角公式:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( θ ) )}{1 - 2 sin ^{2} ( θ ) + 1}

化简

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( θ ) )}{1 - 2 sin ^{2} ( θ ) + 1} : \frac{sin ^{2} ( θ )}{- sin ^{2} ( θ ) + 1}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( θ ) )}{1 - 2 sin ^{2} ( θ ) + 1}

1 - 2 sin^{2} (θ) + 1 = - 2 sin^{2} (θ) + 2

1 - 2 sin^{2} (θ) + 1

对同类项分组

= - 2 sin^{2} (θ) + 1 + 1

数字相加:

1 + 1 = 2

= - 2 sin^{2} (θ) + 2

= \frac{1 - ( - 2 sin ^{2} ( θ ) + 1 )}{- 2 sin ^{2} ( θ ) + 2}

乘开

1 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) : 2 sin^{2} (θ)

1 - (1 - 2 sin^{2} (θ))

- (1 - 2 sin^{2} (θ)) : - 1 + 2 sin^{2} (θ)

- (1 - 2 sin^{2} (θ))

打开括号

= - (1) - (- 2 sin^{2} (θ))

使用加减运算法则

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (θ)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (θ)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (θ)

= \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{- 2 sin ^{2} ( θ ) + 2}

分解

- 2 sin^{2} (θ) + 2 : 2 (- sin^{2} (θ) + 1)

- 2 sin^{2} (θ) + 2

改写为

= - 2 sin^{2} (θ) + 2 \cdot 1

因式分解出通项

2

= 2 (- sin^{2} (θ) + 1)

= \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{2 ( - sin ^{2} ( θ ) + 1 )}

数字相除:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{( - sin ^{2} ( θ ) + 1 )}

去除括号:

(- a) = - a

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{- sin ^{2} ( θ ) + 1}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{- sin ^{2} ( θ ) + 1}

使用毕达哥拉斯恒等式:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

使用三角恒等式改写

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

使用基本三角恒等式:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{sin ( θ ) tan ( θ )}{cos ( θ )}

= tan (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

使用基本三角恒等式:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (θ) tan (θ)

化简

tan (θ) tan (θ) : tan^{2} (θ)

tan (θ) tan (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (θ) tan (θ) = tan^{1 + 1} (θ)

= tan^{1 + 1} (θ)

数字相加:

1 + 1 = 2

= tan^{2} (θ)

tan^{2} (θ)

tan^{2} (θ)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 cos(x-pi/3)-sin(x+pi/6)=0

p ro v e cos (x - \frac{π}{3}) - sin (x + \frac{π}{6}) = 0

证明 ((cos(x)+1))/(sin^3(x))=((csc(x)))/(1-cos(x))

p ro v e \frac{( cos ( x ) + 1 )}{sin ^{3} ( x )} = \frac{( csc ( x ) )}{1 - cos ( x )}

证明 (1+cot^2(x))/(sec^2(x))=cot^2(x)

p ro v e \frac{1 + cot ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )} = cot^{2} (x)

证明 2cos^2(x/2)=(sin^2(x))/(1-cos(x))

p ro v e 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

证明 sin(a)cos(a)=cos^2(a)tan(a)

p ro v e sin (a) cos (a) = cos^{2} (a) tan (a)