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provar cot(x/2)=((1+cos(x)))/(sin(x))

Solução

provar

cot (\frac{x}{2}) = \frac{( 1 + cos ( x ) )}{sin ( x )}

Verdadeiro

Passos da solução

cot (\frac{x}{2}) = \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

Sea:

u = \frac{x}{2}

cot (u) = \frac{1 + cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

Provar

cot (u) = \frac{1 + cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} :

Verdadeiro

cot (u) = \frac{1 + cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

Manipular o lado esquerdo

\frac{1 + cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{1 + cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1 + cos ( 2 u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{2 sin ( u ) cos ( u )}

Simplificar

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{2 sin ( u ) cos ( u )} : \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{2 sin ( u ) cos ( u )}

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 = 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

Agrupar termos semelhantes

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= \frac{2 cos ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ^{2} ( u )}{sin ( u ) cos ( u )}

Eliminar o fator comum:

cos (u)

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (u)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Portanto

cot (\frac{x}{2}) = \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e \frac{1}{tan ( b )} + tan (b) = sec (b) csc (b)

p ro v e sin^{5} (x) = (sin (x))^{5}

p ro v e 2 tan (x) sec (x) csc (x) = 2 + 2 tan^{2} (x)

p ro v e sin^{2} (b) csc^{2} (b) - sin^{2} (b) = cos^{2} (b)

p ro v e cot (π - x) = - cot (x)