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Popular Trigonometria >

provar csc(2x)=(1+tan^2(x))/(2tan(x))

Solução

provar

csc (2 x) = \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 tan ( x )}

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

csc (2 x) = \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 tan ( x )}

Manipular o lado esquerdo

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 tan ( x )}

Expresar com seno, cosseno

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 tan ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Simplificar

\frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

\frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Multiplicar

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{\frac{2 s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 + \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}{\frac{2 s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} ) cos ( x )}{sin ( x ) \cdot 2}

Simplificar

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

em uma fração:

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) + s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} cos ( x )}{2 sin ( x )}

Multiplicar

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} cos (x) : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} cos (x)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Eliminar o fator comum:

cos (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) + s i n ^{2} ( x )}{c o s ( x )}}{2 sin ( x )}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x ) \cdot 2}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( 2 x )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{sin ( 2 x )}

= \frac{1}{sin ( 2 x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( 2 x )}}

Simplificar

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( 2 x )}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( 2 x )}{1}

Aplicar a regra

\frac{a}{1} = a

= csc (2 x)

csc (2 x)

csc (2 x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar (sin(x))/(1-cos(x))=cot(x)+csc(x)

p ro v e \frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} = cot (x) + csc (x)

provar tan(30)=(sin(30))/(cos(30))

p ro v e tan (3 0^{\circ}) = \frac{sin ( 3 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}

provar tan(2x)-sin(2x)=tan(2x)sin(2x)

p ro v e tan (2 x) - sin (2 x) = tan (2 x) sin (2 x)

provar (2-sec^2(x))/(sec^2(x))=cos(2x)

p ro v e \frac{2 - sec ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )} = cos (2 x)

provar (cos(β))/(1-sin(β))=sec(β)+tan(β)

p ro v e \frac{cos ( β )}{1 - sin ( β )} = sec (β) + tan (β)